拉东测度

数学的测度论中，拉东（Radon）测度，是在豪斯多夫空间上的博雷尔测度，且具有局部有限及内部正则性质。

定义

以下不是拉东测度：

在一个局部紧豪斯多夫空间上，拉东测度对应到在紧支集连续函数空间上的正线性泛函。这个性质是提出拉东测度的定义的主要原因。

在 $X$ 上的所有（正）拉东测度组成的带点锥 ${\mathcal {M}}_{+}(X)$ ，可以用下述度量使成为完备度量空间。定义两个测度 $m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)$ 间的拉东距离为

\rho (m_{1},m_{2}):=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)\,d(m_{1}-m_{2})(x)\ \right|f\in C(X),f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.

其中最小上界是对所有连续函数f: X → [-1, 1]取的。

这个度量有一些限制。例如 $X$ 上的概率测度

{\mathcal {P}}(X):=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\}

关于拉东度量不是序列紧致，即是概率测度序列未必有收敛子序列。这个性质在一些应用中会造成困难。另一方面，若 $X$ 是紧致度量空间，那么 Wasserstein度量使 ${\mathcal {P}}(X)$ 成为紧致度量空间。

在拉东度量收敛意味著测度的弱收敛：

\rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,

但反之则不必然。在拉东度量收敛有时称为强收敛，以便和弱收敛对比。