李亚普诺夫方程

李亚普诺夫方程（英语：Lyapunov equation）是控制理论中的名词，离散李亚普诺夫方程的型式如下：

$AXA^{H}-X+Q=0$

其中$Q$为埃尔米特矩阵，$A^{H}$为$A$的共轭转置。而连续李亚普诺夫方程则是

$AX+XA^{H}+Q=0$

李亚普诺夫方程应用在控制理论中的许多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亚普诺夫方程是得名自俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫。

在稳定性中的应用

在以下的定理中，$A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$，且$P$ 和$Q$是对应矩阵。而$P>0$的意思是指$P$矩阵为正定矩阵。

定理（连续时间版本）：给定任意$Q>0$，存在唯一$P>0$满足$A^{T}P+PA+Q=0$的充份必要条件是线性系统${\dot {x}}=Ax$是全域渐近稳定。二次函数$V(z)=z^{T}Pz$是李亚普诺夫函数，可以验证系统的稳定性。

定理（离散时间版本）：给定任意$Q>0$，存在唯一$P>0$满足$A^{T}PA-P+Q=0$的充份必要条件是线性系统$x(k+1)=Ax(k)$是全域渐近稳定。$z^{T}Pz$为其李亚普诺夫函数。

求解的计算层面

有特殊的软件可以求解李亚普诺夫方程。若是离散型式，常会用Kitagawa的Schur法，若是连续型式，则会用Bartels和Stewart的计算法。

解析解

定义$\operatorname {vec} (A)$（向量化）运算子是将矩阵A的所有列堆起来所形成的列向量，而$A\otimes B$是$A$和$B$的克罗内克积。两种李亚普诺夫方程都可以用矩阵方程的解来表示。而且，若矩阵$A$稳定，解也可以用积分（连续时间）或是无限项和（离散时间）来表示。

离散时间

利用$\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$的结果，可以得到

$(I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)$

其中$I_{n^{2}}$为可相乘的单位矩阵。可以积分或或是求解线性方程，即可以得到$\operatorname {vec} (X)$。再将各列重新整理，即可得到$X$。

而且，若$A$稳定，解$X$也可以表示为

$X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}$。

连续时间

再利用克罗内克积和$\operatorname {vec} (A)$运算子，可以得到矩阵方程

$(I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,$

其中${\bar {A}}$是将$A$各元素取共轭得到的矩阵。

类似离散时间的情形，若$A$稳定，解$X$也可以表示为

$X=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }Qe^{A^{H}\tau }d\tau$.

相关条目

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外部链接

• Online Lyapunov equation solver