反正弦 |
|
性质 |
奇偶性 | 奇 |
定义域 | [-1, 1] |
到达域 | ([-90°,90°]) |
周期 | N/A |
特定值 |
当x=0 | 0 |
当x=+∞ | N/A |
当x=-∞ | N/A |
最大值 | (90°) |
最小值 | (-90°) |
其他性质 |
渐近线 | N/A |
根 | 0 |
拐点 | 原点 |
不动点 | 0 |
反正弦(arcsine,,)是一种反三角函数,也是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中,反正弦被定义为一个角度,也就是正弦值的反函数。在实数域内,正弦函数的值域为,不是一个双射函数,故在整个定义域上无法有单值的反函数;但若限定正弦函数的定义域在([180°k-90°,180°k+90°])内,则正弦函数有反函数。在实数域内,通常将反正弦函数的定义域限制在区间,值域限制在区间([-90°,90°])中;若利用自然对数,则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集,但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。
命名
反正弦的符号是arcsin,也常常写作 。如此写法可以被接受的理由是,正弦函数的倒数是余割,有单独的写法,因此不易和 混淆。另外在某些计算机的按键或电脑的编程语言中,反正弦会以asin或asn表示。
定义
原始的定义是将正弦函数限制在 ([-90°,90°])的反函数,得到如下定义域和值域:
-
- ( )
利用自然对数可将定义推广到整个复数集:
-
运算
反正弦函数的导数是:
-
- 故实数域内,它在整个定义域上单调递增。
- 反正弦函数的泰勒级数是:
- .
反正弦函数是奇函数,故:
另外,反正弦的和差也可以合并成一个反正弦来表达:
-
其中 。
和差公式:
-
倍变数公式:
(对0 ≤ kx ≤ 1)
-
参见