反正弦
性质
奇偶性
定义域 [-1, 1]
到达域
[-90°,90°]
周期 N/A
特定值
当x=0 0
当x=+∞ N/A
当x=-∞ N/A
最大值
(90°)
最小值
(-90°)
其他性质
渐近线 N/A
0
拐点 原点
不动点 0

反正弦(arcsine,)是一种反三角函数,也是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中,反正弦被定义为一个角度,也就是正弦值的反函数。在实数域内,正弦函数的值域为,不是一个双射函数,故在整个定义域上无法有单值的反函数;但若限定正弦函数的定义域在[180°k-90°,180°k+90°])内,则正弦函数有反函数。在实数域内,通常将反正弦函数的定义域限制在区间,值域限制在区间[-90°,90°])中;若利用自然对数,则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集,但这样一来反正弦函数也将变成多值函数

命名

反正弦的符号是arcsin,也常常写作 。如此写法可以被接受的理由是,正弦函数的倒数是余割,有单独的写法,因此不易和 混淆。另外在某些计算机的按键或电脑的编程语言中,反正弦会以asin或asn表示。

定义

原始的定义是将正弦函数限制在 [-90°,90°])的反函数,得到如下定义域和值域:

 
 

利用自然对数可将定义推广到整个复数集

 
 
拓展到复数的反正弦函数

运算

反正弦函数的导数是:

 
故实数域内,它在整个定义域上单调递增
反正弦函数的泰勒级数是:
 .

反正弦函数是奇函数,故:

 

另外,反正弦的和差也可以合并成一个反正弦来表达:

 

其中 

和差公式:

 

倍变数公式:

 

 

 (对0 ≤ kx ≤ 1)

 

参见