上半平面

上半平面（upper half-plane）H是一数学名词，是指由虚部为正的复数组成的集合：

\mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}.

此词语的由来是因为虚数x + iy常视为是在笛卡儿坐标系下，平面中的点(x,y)，若垂直方向为Y轴时，其上半平面对应X轴以上的区域，因此也对应y > 0区域的复数。

上半平面是许多复分析中重要函数的定义域，特别是模形式。y < 0的下半平面其实也有类似的意义，不过在定义上，较少人用下半平面来定义。开单位圆盘 D（所有绝对值小于1的复数形成的集合）可以由共形映射转换到H（参照庞加莱度量），因此表示有可能在H和D之间转换。

上半平面在双曲几何中有重要的地位，庞加莱半平面模型提供一种检验双曲运动（英语：hyperbolic motion）的方式。庞加莱度量提供此空间下的双曲度量张量。

曲面的单值化定理提到上半平面是所有高斯曲率为负常数之空间的万有覆叠空间。

闭上半平面（closed upper half-plane）是上半平面和X轴的并集，也是上半平面的闭包。

扩展

在微分几何中常见的扩展是双曲n-空间（英语：hyperbolic n-space） Hⁿ，最大对称，单连通，截面曲率为-1的n维黎曼流形。此表示方式下，上半平面为H²因为其实维度为2。

数论中的希尔伯特模形式和一些函数在许多上半平面组成的空间Hⁿ有关。另一个数论研究者感兴趣的空间是西格尔上半平面（英语：Siegel upper half-space）H_n，是西格尔模形式的定义域。

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