Powerful p-群
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在數學的群論中,特別在p-群和pro-p-群的研究中,powerful p-群是一個起著重要作用的概念。這個概念是在(Lubotzky & Mann 1987)引入的,該文中並給出了幾個應用,包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究(Khukhro 1998),受限制的Burnside問題的解答(Vaughan-Lee 1993),以coclass猜想作出的有限p-群分類(Leedham-Green & McKay 2002),及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 (Dixon 等人 1991)。
正式定義
有限p-群 稱為powerful,於 為奇數時,若交換子子群 包含在子群 內,而於p=2時若 包含在子群 內。
powerful p-群的性質
powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似,所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section。
powerful p-群也可用於研究pro-p群,因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群(在p-進數上為流形的群)的特性:一個有限生成pro-p群是p-進解析的,當且僅當這個群包含一個powerful的開正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。
一些與阿貝爾p-群相似的性質有:若 是powerful p-群,則:
- 的Frattini子群 有性質
- 對所有 。就是以 次冪生成的群,正是 次冪的集合。
- 對所有 ,若 ,則 。
- 對所有 , 的下中心序列的第k位有性質 。
- powerful p-群的每個商群都powerful。
- 的Prüfer秩等於 的生成元的最小數目。
一些不太像阿貝爾群的性質有:若 是powerful p-群,則
- 是powerful。
- 的子群不一定是powerful。
參考
- Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
- Dixon, J. D.; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A.; Segal, D., Analytic pro-p-groups, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39580-1, MR1152800
- Khukhro, E. I., p-automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59717-X, MR1615819
- Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan, The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series 27, Oxford University Press, 2002, ISBN 978-0-19-853548-5, MR1918951
- Lubotzky, Alexander; Mann, Avinoam, Powerful p-groups. I. Finite Groups, J. Algebra, 1987, 105 (2): 484–505, doi:10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR0873681
- Vaughan-Lee, Michael, The restricted Burnside problem 2nd, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853786-7, MR1364414