n 维球面球面 在任意维度 的推广。它是(n + 1)维空间内的n 维流形 。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面 上的圆 ，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面 。中心位于原点且半径为单位长度的n 维球面称为单位n 维球面 ，记为S n
2维球面的正交投影 3维球面的平行線（紅色）、 子午線 （藍色）以及超子午線（綠色）的立體投影法 。 因為立體投影法的共形 特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即直線）。
S
n
=
{
x
∈
R
n
+
1
:
‖
x
‖
=
1
}
.
{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}.}
n 维球面是(n + 1)维球体 的表面或边界，是n 维流形的一种。对于n ≥ 2，n 维球面是单连通 的n 维流形，其曲率为正的常数。
对于任何自然数 n ，半径 为r 的n 维球面定义为(n + 1)维欧几里得空间 中到某个定点的距离等于常数r 的所有点的集合，其中r 可以是任何正的实数。它是(n + 1)维空间内的n 维流形 。特别地：
0维球面是直线上的两个点{p − r , p + r }；
1维球面是平面 上的圆 ；
2维球面是三维空间内的普通球面；
3维球面 是四维空间内的球面。
n + 1)维空间中的欧几里得坐标(n + 1)维空间中的点(x 1 , x 2 , ..., x n +1n 维球面（S n r )），由以下方程表示：
r
2
=
∑
i
=
1
n
+
1
(
x
i
−
C
i
)
2
.
{\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.\,}
其中C 是中心点，r 是半径。
以上的n 维球面在(n + 1)维空间中存在，是n 维流形的一个例子。半径为
r
{\displaystyle r}
n 维球面的体积形式 ω由下式给出：
ω
=
1
r
∑
j
=
1
n
+
1
(
−
1
)
j
−
1
x
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
j
−
1
∧
d
x
j
+
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
1
=
∗
d
r
{\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}
其中*是霍奇星算子 （关于讨论和这个公式在r = 1的情形下的证明，请参见Flanders (1989 ，§6.1)）。因此，
d
r
∧
ω
=
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
1
.
{\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
n 维球体由n 维球面所包围的体积，称为(n + 1)维球体 。如果把球体的表面包括在内，则(n + 1)维球体是封闭 的，否则是开放 的。
特别地：
1维球体，是一个线段 ，是0维球面的内部。
2维球体，是一个圆盘 ，是圆（1维球面）的内部。
3维球体，是一个普通的球体 ，是球面（2维球面）的内部。
4维球体，是3维球面的内部。
n 维球体的体积
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
n
{\displaystyle n}
V
n
=
π
n
2
R
n
Γ
(
n
2
+
1
)
=
C
n
R
n
{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}}
其中
Γ
{\displaystyle \Gamma }
伽玛函数 。对于偶数
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
2
+
1
)
=
(
n
2
)
!
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\left({\frac {n}{2}}\right)!}
n
{\displaystyle n}
Γ
(
n
2
+
1
)
=
π
n
!
!
2
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}
n
!
!
{\displaystyle n!!}
双阶乘 。
由此可以推出，对于给定的
n
{\displaystyle n}
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
n
=
π
k
k
!
{\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}
n =2k ），
C
n
=
C
2
k
+
1
=
2
2
k
+
1
k
!
π
k
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle C_{n}=C_{2k+1}={\frac {2^{2k+1}k!\,\pi ^{k}}{(2k+1)!}}}
n =2k +1）。这个(n-1)维球面的表面积 是：
S
n
−
1
=
d
V
n
d
R
=
n
V
n
R
=
2
π
n
2
R
n
−
1
Γ
(
n
2
)
=
n
C
n
R
n
−
1
{\displaystyle S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}}
n 维球面的表面积和体积之间有以下的关系：
V
n
/
S
n
−
1
=
R
/
n
{\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n\,}
S
n
+
1
/
V
n
=
2
π
R
{\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R\,}
从此可以推导出递推关系：
V
n
=
2
π
R
2
n
V
n
−
2
{\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}\,}
这些公式也可以直接从n 维球坐标系 中的积分 推出(Stewart 2006 ，第881頁)。
对于较小的
n
{\displaystyle n}
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
V
n
{\displaystyle V_{n}}
V
0
{\displaystyle V_{0}\,}
=
1
{\displaystyle 1\,}
V
1
{\displaystyle V_{1}\,}
=
2
R
{\displaystyle 2\,R}
≈
{\displaystyle \approx }
2.00000
R
{\displaystyle 2.00000\,R}
V
2
{\displaystyle V_{2}\,}
=
π
R
2
{\displaystyle \pi \,R^{2}}
≈
{\displaystyle \approx }
3.14159
R
2
{\displaystyle 3.14159\,R^{2}}
V
3
{\displaystyle V_{3}\,}
=
4
π
3
R
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\,R^{3}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.18879
R
3
{\displaystyle 4.18879\,R^{3}}
V
4
{\displaystyle V_{4}\,}
=
π
2
2
R
4
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}\,R^{4}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.93480
R
4
{\displaystyle 4.93480\,R^{4}}
V
5
{\displaystyle V_{5}\,}
=
8
π
2
15
R
5
{\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}\,R^{5}}
≈
{\displaystyle \approx }
5.26379
R
5
{\displaystyle 5.26379\,R^{5}}
V
6
{\displaystyle V_{6}\,}
=
π
3
6
R
6
{\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}\,R^{6}}
≈
{\displaystyle \approx }
5.16771
R
6
{\displaystyle 5.16771\,R^{6}}
V
7
{\displaystyle V_{7}\,}
=
16
π
3
105
R
7
{\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,R^{7}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.72477
R
7
{\displaystyle 4.72477\,R^{7}}
V
8
{\displaystyle V_{8}\,}
=
π
4
24
R
8
{\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}}
≈
{\displaystyle \approx }
4.05871
R
8
{\displaystyle 4.05871\,R^{8}}
但当
n
{\displaystyle n}
V
n
R
n
{\displaystyle {\frac {V_{n}}{R^{n}}}}
如果维度n 不限于整数，那么n维球面的体积就是n 的连续函数 ，它的极大值 位于n = 5.2569464...，体积为5.277768...。当n = 0或n = 12.76405...时，体积为1。
单位n 维球面的外切超正方体 的边长为2，因此体积为2n n 维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。
我们可以定义n维空间内的坐标系统，与3维空间内的球坐标系 类似，由径向坐标
r
{\displaystyle \ r}
n
−
1
{\displaystyle \ n-1}
ϕ
1
,
ϕ
2
,
.
.
.
,
ϕ
n
−
1
{\displaystyle \ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}}
x
i
{\displaystyle \ x_{i}}
x
1
=
r
cos
(
ϕ
1
)
{\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,}
x
2
=
r
sin
(
ϕ
1
)
cos
(
ϕ
2
)
{\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,}
x
3
=
r
sin
(
ϕ
1
)
sin
(
ϕ
2
)
cos
(
ϕ
3
)
{\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
x
n
−
1
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,}
x
n
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,}
从中可以推出逆变换的公式：
tan
(
ϕ
n
−
1
)
=
x
n
x
n
−
1
{\displaystyle \tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}
tan
(
ϕ
n
−
2
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
x
n
−
2
{\displaystyle \tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
tan
(
ϕ
1
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
+
⋯
+
x
2
2
x
1
{\displaystyle \tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}}
注意最后一个角
ϕ
n
−
1
{\displaystyle \phi _{n-1}}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
π
{\displaystyle \pi }
n 维空间内的体积元素 可以从变换的雅可比行列式 得出：
d
R
n
V
=
|
det
∂
(
x
i
)
∂
(
r
,
ϕ
j
)
|
d
r
d
ϕ
1
d
ϕ
2
…
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
=
r
n
−
1
sin
n
−
2
(
ϕ
1
)
sin
n
−
3
(
ϕ
2
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
d
r
d
ϕ
1
d
ϕ
2
⋯
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle =r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}}
以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出：
V
n
=
∫
r
=
0
R
∫
ϕ
1
=
0
π
⋯
∫
ϕ
n
−
2
=
0
π
∫
ϕ
n
−
1
=
0
2
π
d
R
n
V
.
{\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,}
(n -1)–维球面的体积元素是2维球面的面积元素 的推广，由以下公式给出：
d
S
n
−
1
V
=
sin
n
−
2
(
ϕ
1
)
sin
n
−
3
(
ϕ
2
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
d
ϕ
1
d
ϕ
2
…
d
ϕ
n
−
1
{\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}
就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影 映射到二维平面上一样，一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如，半径为1的二维球面上的点
[
x
,
y
,
z
]
{\displaystyle \ [x,y,z]}
x
y
{\displaystyle \ xy}
[
x
,
y
,
z
]
↦
[
x
1
−
z
,
y
1
−
z
]
{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}
[
x
,
y
,
z
]
↦
[
x
1
−
z
,
y
1
−
z
]
.
{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}
类似地，半径为1的n维球面
S
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}}
x
n
{\displaystyle \ x_{n}}
R
n
−
1
{\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}}
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
↦
[
x
1
1
−
x
n
,
x
2
1
−
x
n
,
…
,
x
n
−
1
1
−
x
n
]
.
{\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}
Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications , 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere , Prentice Hall , 1996 [2008-09-13 ] , ISBN 978-0-13-373770-7存档 于2008-07-04） Weeks, Jeffrey R. , The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0 Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972.
Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006
![{\displaystyle \ [x,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0f89ff6261ec005201a413ba66496eddb00cb4)
![{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99eb9f3dd9cdc9934cb9ba36fe04b93cc535d30f)
![{\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94edd94029873420ba81be57bc13326453aacc3f)
![{\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d724ec5ccaf13bd398dedce93ba71fa382b39c7)