Meissel-Mertens常数

Meissel-Mertens常数也稱為Mertens常數或質數倒數和常數，是數論中的一個常數，定義為只針對質數的调和级数和自然對數的自然對數二者差的極限：

M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln(n))\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].

其中 $\gamma$ 為欧拉-马歇罗尼常数，其定義恰好和上式有些類似之處。

$M$ 的值大約是

M\approx 0.261\ 497\ 212\ 847\ 642\ 783\ 755\ 426\ 838\ 608\ 695\ 859\ 0516\ldots

（OEIS數列A077761）.

依梅滕斯第二定理，上述的極限存在。

Meissel-Mertens常数的極限定義中出現對數的對數，可以看成是素數定理和欧拉-马歇罗尼常数定義的組合。

Google在針對北電網絡專利拍賣投標時，曾用到此數字，Google三個投標的金額為：$1,902,160,540（布朗常數）、$2,614,972,128（Meissel-Mertens常数）、及$31.4159億（π）^[1]。

參考資料

^ Reuters. Google's strange bids for Nortel patents. FinancialPost.com. July 5, 2011 [2011-08-16]. （原始内容存档于2011-08-09）.

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