E (数学常数)

數學常數,是n趨近於無窮大時(1+1/n)^n的極限值,約等於2.718
(重定向自E (常数)

,亦称自然常数自然底数,或是歐拉數Euler's number),是無理數數學常數,以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数,數值約是(小數點後20位,OEISA001113):

歐拉數
歐拉數-1 歐拉數 歐拉數+1
數表无理数
- - - - - -
命名
名稱納皮爾常數
識別
種類無理數
超越數
發現雅各布·伯努利
符號
位數數列編號OEISA001113
性質
定義
連分數(線性表示)[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
以此為的多項式或函數
表示方式
2.7182818285
無窮級數
二进制10.101101111110000101010001[1]
八进制2.557605213050535512465277[2]
十进制2.718281828459045235360287
十二进制2.8752360698219BA71971009B[3]
十六进制2.B7E151628AED2A6ABF715880[4]
六十进制2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…
各种各样的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

是使在点上 (蓝色曲线)的导数(切线的斜率)值为1之的唯一值。对比一下,函数(虚点曲线)和(虚线曲线)和斜率为1、y-截距为1的直线(红色)并不相切。
,近似值為

有許多的函數都和有關:自然對數函數底數即為,數學中的指数函数也常是指以為底數的指数函数。

歷史

約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數 ,但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把 看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:

 

上式代表把1與無窮小相加,再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數 ,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以 表示。1727年歐拉開始用 來表示這常數;而 第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母 表示,但 較常用,終於成為標準。

 表示的原因確實不明,但可能因為 指數函數exponential)一字的首字母。另一看法則稱 有其他經常用途,而 是第一個可用字母。

定義

就像圓周率 虛數單位i 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。

  1. 定義 爲下列極限值:
     
     
  2. 定義 階乘倒數無窮級數的和[5]
     
    其中 代表 階乘
  3. 定義 爲唯一的正數 使得
     
  4. 定義 爲唯一的實數 使得
     

這些定義可證明是等價的,请参见文章指数函数的特征描述英语Characterizations of the exponential function

性質

 
  的極大值在 .

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 的重要性在於,唯独该函數(或其常數倍,即 ,其中 為任意常數)與自身導數相等。即:

 
 泰勒級數 
 

 為複數時依然成立,因此根據  的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:

 

 的特例是歐拉恆等式

 

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

 

棣莫弗公式

 

就像以下的展開式:

 

無理數證明

證明 是無理數可以用反證法。假設 有理數,則可以表示成  ,其中 為正整數。以 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

 

以下將推導出 是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證 是無理數。

  •  是整數,因為
     
     
     
  •  是小於1的正數,因為
     
     
     

但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出 為無理數。

二項式定理

 為存在的數值,所以用二項式定理可證出:

 
 
 
 
 
 
 

已知位数

 的已知位数[6][7]
日期 位数 计算者
1748年 18 李昂哈德·歐拉
1853年 137 William Shanks
1871年 205 William Shanks
1884年 346 J. M. Boorman
1946年 808
1949年 2,010 約翰·馮·諾伊曼
1961年 100,265 Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇
1978年 116,000 史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克
1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel
1997年8月 20,000,000 Birger Seifert
1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel
1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon
2000年7月10日 2,147,483,648 近藤茂、Xavier Gourdon
2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin、Xavier Gourdon
2000年8月2日 6,442,450,944 近藤茂、Xavier Gourdon
2000年8月16日 12,884,901,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2003年8月21日 25,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2003年9月18日 50,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon
2007年4月27日 100,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo
2009年5月6日 200,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo
2010年2月21日 500,000,000,000 余智恒(Alexander J. Yee)
2010年7月5日 1,000,000,000,000 近藤茂、余智恒(Alexander J. Yee)
2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale

諧取

  • Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的 十億美元。Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,与圆周率有关。
  • Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在 的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個 中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
  • 著名電腦科學家高德納的软件Metafont軟體版本號趨向 (就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),与之相对的有TeX軟體版本號号是趋向于圆周率的。

参见

参考文献