马丢函数

马丟函数(法語:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬丢法语Émile Mathieu因研究数学物理所推得的特殊函數,下列马丟方程的解析解:

MathieuCE 3D
MathieuSE 3D

马丟方程有两个线性无关的解:

奇数解

MathieuCE(n, q, x),或记为,

偶数解

MathieuSE(n, q, x).或记为 称为基本解[1]

周期性

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为   的周期解,另一个不是。

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为 (n≥2)的周期函数。 [1]

正交性

  •  
  •  
  •  

特征方程

 
Mathieu Eigen value a(n,q)
 
Mathieu eigenvalue b(n,q)

马丟方程的特征方程是[1]

 

 

对于给定的v,q, 上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。

特征值的展开

马丟函数体特征值可展开成级数:[2]

       

         

级数展开

马丟函数ce,se的级数展开[3]

         

         

傅立叶展开式

马丟函数的傅立叶展开:[3]

  •  
  •  
  •  
  •  

其中系数A,B满足下列递归关系:[3]


 

 

 

 

 

关系式

马丟方程的基本解 满足下列关系:[3]:

 =  

郎斯基行列式:  

       


   

特例

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  •  
  •  
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  •  
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夫洛开解

 
Mathieu Floquet

马丟函数中,如果  是一个周期为 的解,并满足下列条件

 ,其中 与x 无关,则此解称为夫洛开解。

级数展开

     

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 王竹溪 郭敦仁 603 引用错误:带有name属性“W”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  2. ^ Frank p659
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Frank p660 引用错误:带有name属性“F”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  • 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 第十二章 马丟函数 北京大学出版社 2000
  • Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010