輻射轉移

輻射轉移(英語:radiative transfer)是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收發射散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為輻射轉移方程式radiative transfer equationRTE),它被廣泛應用在光學天文物理學大氣科學遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解,但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應,此時必須使用數值方式求解。

輻射場

輻射轉移現象所描述的對象為輻射場(radiation field),而輻射場通常表達成譜輻射率英语Spectral radiancespectral radiance[註 1]關於位置  、方向   和時間   的的函數,寫成  [1]

譜輻射率   的定義如下。考慮一個位於   的單位面積  ,如果在單位時間   內,有輻射能量   從單位立體角   流經單位面積  ,且頻率介於    這個區間之內(輻射的極化在這裡被忽略),則

 

其中   是輻射的單位向量   和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示,在MKS单位制中,就是W·m-2·sr-1·Hz-1

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的   都被指定,就構成一個輻射場。另外,譜輻射率為輻射度量學名詞,在傳統天文學領域常常稱為比強度specific intensity)。

輻射轉移方程式

輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形,令   是沿著輻射路徑傳播的距離;假如輻射通過真空,則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變,於是有

 

現在考慮輻射通介質,則有三種交互作用會導致輻射轉移:

  • 因為吸收absorption)而失去能量
  • 因為發射emission)而獲得能量
  • 因為散射scattering)而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為

 

此處   是物質的譜發射係數[註 2]  是物質的譜衰減係數[註 3],而且可寫成  ,下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中,常引入光深度   的概念;對上式使用   進行變數變換,可得到

 

其中  源函數英语Source function[2]。當所有頻率   的源函數都等於譜輻射率的時候,可得到  ,彷彿輻射是通過真空一樣,這就是輻射平衡radiative equilibrium)條件。

如果考慮三維情形,輻射轉移方程式可寫為[3][4]

 

其中  光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對   的導數,還納入了   的時間導數;等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射,故取   的角度平均。

輻射轉移方程式的解

求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數,進行適當簡化。譬如說,如果將吸收和散射忽略,只考慮物質的發射,則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成:

 

這裡的   是兩個位置    中間介質的光深度

 

局部熱力平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力平衡local thermodynamic equilibriumLTE)狀態。這個狀態中,介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子,因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態,並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中,發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數,而且兩者的關係式為

 

其中   是溫度   時的黑體輻射的譜輻射率(即普朗克黑體輻射定律)。此時,輻射轉移方程式的解為

 

了解介質的溫度和密度剖面曲線之後,就足以計算輻射轉移方程式的解。

愛丁頓近似

愛丁頓近似(Eddington approximation)是輻射轉移方程式的一種近似解,適用於氣象學中的平面平行大氣(plane-parallel atmosphere)模型及天文學中的灰色大氣英语Grey atmosphere模型。在這些模型裡,大氣的各種熱力性質呈現層狀(slab-like)分布,換句話說,它們只會在垂直於層狀大氣的方向上(定義為   軸)發生變化,而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑   上的變化量與   軸上的變化量的關係為[5]

 

我們稍後會解說定義   的作用。由於考慮的是平面平行大氣,所以我們預期譜輻射率也只是    的線性函數。使用變數變換   ,代入一維輻射轉移方程式,則有

 

另一方面,我們定義譜輻射率   關於   的第  動差[6][7][註 4]

 

之所以引入動差的概念,是因為在平面平行大氣中,有許多輻射相關的物理量是   的函數,只要使用變數變換   ,就可以在角度積分中簡化算式。具體來說,假設   是任意   的函數,則   對於所有方向的立體角積分為[8]

 

  關於   的前幾階動差是

 
 
 

此處   是輻射強度的角度平均(angle-averaged intensity),它恰好與能量密度   成正比;  是愛丁頓通量(Eddington flux),與輻射通量英语Radiative flux   成正比;  也與輻射壓   成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性[9]、但是有關於   的一階異向性,簡單來說,就是假定   關於  泰勒級數只保留到一次項,於是   成為   線性函數[10]

 

將這個函數代入上述動差的公式,可以得到

 

於是得到愛丁頓近似的重要結果:

 

這等價於各項同性輻射場的重要條件  ,不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出[11][6]

愛丁頓近似與雙流近似英语two-stream approximation不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域,輻射在其中一邊固定以某方向傳播,在另一邊固定以另一方向傳播。

參見

註腳

  1. ^ 對於輻射相關的物理量而言,「譜」字(spectral)通常意味著該物理量是關於波長頻率的導數;如果是對頻率微分,記號通常會加一個下標  ;如果是對波長微分,記號通常會加一個下標  
  2. ^ MKS制單位為W·m−2·sr−1·Hz−1
  3. ^ MKS制單位為m−1,又常被稱為不透明度opacity)。
  4. ^ 為了方便起見,以下輻射相關物理量中的下標   被省略了。

延伸閱讀

參考資料

  1. ^ Choudhuri, Arnab Rai. Astrophysics for Physicists (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 24 [2024-01-09]. ISBN 978-0-511-67742-7. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-09) (英语). 
  2. ^ Dullemond, C.P. Chapter 3: Formal transfer equation (PDF). Radiative transfer in astrophysics (Master/PhD Course). 2012-07-28 [2024-01-09]. (原始内容存档 (PDF)于2023-06-01). 
  3. ^ 放射輸送. 天文学辞典. 日本天文学会. (原始内容存档于2019-06-01) (日语). 
  4. ^ McLinden, Chris. The Equation of Radiative Transfer. 1999-07-22. (原始内容存档于2008-03-15) (英语). 
  5. ^ Choudhuri 2010,第36頁.
  6. ^ 6.0 6.1 Huang, S.-S. On the Eddington Approximation. Astrophysical Journal: 841. Bibcode:1968ApJ...152..841H  (英语). 
  7. ^ Owocki, Stan. PHYS-633: Introduction to Stellar Astrophysics (PDF). The Bartol Research Institute. 2010-10-31 [2024-01-09]. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-09). 
  8. ^ Choudhuri 2010,第38頁.
  9. ^ エディントン近似. 天文学辞典. 日本天文学会. (原始内容存档于2019-03-13) (日语). 
  10. ^ Rybicki, George B.; Lightman, Alan P. Radiative Process in Astrophysics (PDF). Wiley-VCH. 2004: 42 [1979] [2024-01-09]. ISBN 978-0-471-82759-7. (原始内容存档 (PDF)于2023-11-07) (英语). 
  11. ^ Eddington, A.S. The Internal Constitution of the Stars. Nature. 1920, 106: 14–20. doi:10.1038/106014a0 (英语).