超几何分布

超幾何分布（Hypergeometric distribution）是統計學上一种離散機率分布。它描述了由有限個物件中抽出$n$個物件，成功抽出$k$次指定種類的物件的概率（抽出不放回 （without replacement））。

超几何分布

概率质量函數
累積分布函數
参数	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}$
值域	$k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}$
概率质量函数	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
累積分布函數	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right]$ 其中$\,_{p}F_{q}$為廣義超幾何函數
期望值	$n{K \over N}$
眾數	$\left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1$, $\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
方差	$n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}$
偏度	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
峰度	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
矩生成函数	${\frac {{N-K \choose n}{_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}$
特徵函数	${\frac {{N-K \choose n}{\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

例如在有$N$個樣本，其中$K$個是不及格的。超幾何分布描述了在該$N$个样本中抽出$n$個，其中$k$個是不及格的個數：

$f(k;n,K,N)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$

上式可如此理解：${\tbinom {N}{n}}$表示所有在$N$个样本中抽出$n$个的方法数目。${\tbinom {K}{k}}$表示在$K$个样本中，抽出$k$個的方法數目，即组合数，又稱二項式係數。剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有$N-K$个，剩下的抽法便有${\tbinom {N-K}{n-k}}$ 若$n=1$，超幾何分布退化為伯努利分布。

记号

若随机变量$X$服从参数为$n,K,N$的超几何分布，则记为$X\sim H(n,K,N)$。

參見

• 幾何分布
• 二項式分布