角度條件

角度條件(angle condition)是自動控制根軌跡圖中,有關角度的限制條件,根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的角度會滿足角度條件。角度條件和量值條件可以完全確定根軌跡圖。

根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件

令系統的特徵方程為,而,可改寫為以下各因式相乘的形式

則角度條件是指

其中為整數。

也就是說

開迴路零點到點角度的和,減去開迴路極點到點角度的和,除後的餘數需等於

推導

假設。若將控制方程改為極坐標表示

 
 

其中 為方程式中的解。將 改寫為各因式相乘的形式

 

再將因式  向量的形式  表示,因此可以改寫 如下。

 

簡化特徵方程式,

 

因此可以得到角度條件:

 

其中 ,

 

為極點1至n的角度,而

 

為零點1至m的角度。

也可以用類似的方式推導量值條件