范德蒙矩陣

在線性代數中，范德蒙矩陣的命名來自亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙的名字，范德蒙矩陣是一個各列呈現出幾何級數關係的矩陣，例如：

V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}

或以第 $i$ 行第 $j$ 列的關係寫作：

V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}

（部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式，也就是一整排的 1 不列在左邊，而是列在上面。）

n階范德蒙矩陣為方塊矩陣，其行列式可以表示為：

\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})

$\det(V)$ 不為零當且僅當 $\alpha _{i}$ 各不相同。

上述行列式又稱作判別式。

\det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},

可以把公式改寫為

\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},

S_n 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

若 m≤n，則矩陣 V 有最大的秩 rank (m)。

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