循環單位

在趣味數學中，循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler稱這類數為repunit，表示repeated unit。

對於n≥1，循環單位可以這樣定義：

$R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad \,\!$

亦可以用遞歸的方法：

$R_{0}=0\,\!$

$R_{n}=bR_{n-1}+1\,\!$

其中$b\,\!$是进位制的底。在這篇文章，循環單位都是指十进制中的。

循環單位的平方

$R_{1}\,\!$至$R_{b}\,\!$的循環單位，$R_{n}\,\!$的平方有一個很有趣的性質，它們都會得出由1到$n\,\!$的數字順序組成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原則於十進制，只在$n<10\,\!$的情況下才能生效，因為在$n>9\,\!$的情況下，$R_{n}\,\!$的平方已經不能組成迴文數。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

雖然在$9<n<19\,\!$的情況下，$R_{n}\,\!$的平方不能組成迴文數，卻有著固定的結構：

1. 如果$n=10\,\!$，前綴：123456790，後綴：0987654321
2. 如果$n>10\,\!$，前綴：123456790，中段：從1開始順序數數，直至得出$n\,\!$與9的差，再倒數至2，後綴：0987654321

循環單位質數

當$n$能被大於1的$k$整除時，$R_{k}|R_{n}$（例如$111111111=111\times 1001001$），因此若$R_{n}$是質數，$n$必須是質數。

現在已知$n=2,19,23,317,1031$時，$R_{n}$是質數，而$n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207$的$R_{n}$則可能是偽素數，$R_{8177207}$是目前已知最大的可能質數。

號碼	n	年份	發現者
1	2	－	－
2	19	－	－
3	23	－	－
4	317	1978年	Williams, Dubner
5	1031	1986年	Dubner
6	49081	1999年	Dubner
7	86453	2000年	Baxter
8	109297	2007年	Bourdelais, Dubner
9	270343	2007年	Voznyy, Budnyy
10	5794777	2021年	Batalov, Propper
11	8177207	2021年	Batalov, Propper

參見

• 循環單位因數表