網路診斷的概念最早由Vardi在1996年提出，現今的研究主要分為：
網路起始節點至終端節點的流量強度估計
所謂網路起始節點至終端節點(SD)流量強度估計主要是想要估計網路內各條SD路徑的封包流量。其主要概念為假設我們能觀測到網路內各節點互相傳送封包的路徑，以下簡稱連結和各條連結的封包流量，由各條連結所觀測到的結果來估計各條SD路徑的網路流量。
主要問題架構與符號定義如下：
假設網路模型內有
n
{\displaystyle n}
r
{\displaystyle r}
c
{\displaystyle c}
r
{\displaystyle r}
c
{\displaystyle c}
令
X
j
(
k
)
{\displaystyle X_{j}^{\left(k\right)}}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
X
j
(
k
)
∼
P
o
i
s
s
o
n
(
λ
j
)
,
j
=
1
,
.
.
.
,
c
,
k
=
1
,
.
.
.
,
K
{\displaystyle X_{j}^{\left(k\right)}\sim Poisson(\lambda _{j}),\;j=1,...,c,\;k=1,...,K}
Y
(
k
)
=
A
X
(
k
)
,
k
=
1
,
.
.
.
,
K
{\displaystyle {\boldsymbol {Y^{\left(k\right)}=AX^{\left(k\right)}}},k=1,...,K}
其中，
Y
(
k
)
=
(
Y
1
(
k
)
,
.
.
.
,
Y
r
(
k
)
)
′
{\displaystyle {\boldsymbol {Y^{\left(k\right)}}}=\left(Y_{1}^{\left(k\right)},...,Y_{r}^{\left(k\right)}\right)'}
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
X
(
k
)
=
(
X
1
(
k
)
,
.
.
.
,
X
r
(
k
)
)
′
{\displaystyle {\boldsymbol {X^{\left(k\right)}}}=\left(X_{1}^{\left(k\right)},...,X_{r}^{\left(k\right)}\right)'}
K
{\displaystyle K}
我們希望利用觀測到的Y向量去估計X向量中的參數值
λ
=
(
λ
1
,
.
.
.
,
λ
c
)
′
{\displaystyle \mathrm {\lambda =\left(\lambda _{1},...,\lambda _{c}\right)'} }
最大概似法 參數可能解中讓概似函數最大者
藉由EM演算法找最大概似估計量
動差法 貝氏方法 例子
假設網路模型有2條連結、3條SD路徑、1期的SD流量，即
r
=
2
,
c
=
3
,
K
=
1
{\displaystyle r=2,c=3,K=1\ }
X
i
∼
P
o
i
s
s
o
n
(
λ
i
)
,
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle X_{i}\sim Poisson(\lambda _{i}),\;i=1,2,3}
X
1
+
X
2
=
1
,
X
1
+
X
3
=
2
{\displaystyle X_{1}+X_{2}=1,X_{1}+X_{3}=2}
Y
=
(
1
2
)
,
A
=
(
1
1
0
1
0
1
)
,
X
=
(
X
1
X
2
X
3
)
{\displaystyle Y={\binom {1}{2}},A={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}},X={\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}}
因此模型可表示成
(
1
2
)
=
(
1
1
0
1
0
1
)
⋅
(
X
1
X
2
X
3
)
{\displaystyle {\binom {1}{2}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{pmatrix}}}
以最大概似法求最佳解為例，
先將所有可能的參數解找出。因為封包流量必須為正整數，因此只有以下兩組解：
X
=
(
1
0
1
)
′
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}'}
X
=
(
0
1
2
)
′
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&2\end{pmatrix}}'}
將可能的參數解代入概似函數
L
(
λ
)
=
(
λ
1
λ
3
+
λ
2
λ
3
2
2
)
e
x
p
(
−
λ
1
−
λ
2
−
λ
3
)
{\displaystyle L(\lambda )=(\lambda _{1}\lambda _{3}+{\frac {\lambda _{2}\lambda _{3}^{2}}{2}})exp(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})}
找出讓概似函數最大的參數解，即為最佳參數解
F
i
n
d
λ
:
m
a
x
λ
L
(
λ
)
{\displaystyle Find\;\lambda :max_{\lambda }L(\lambda )}
因為
L
(
(
1
0
1
)
′
)
{\displaystyle L({\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}')}
L
(
(
0
1
2
)
′
)
{\displaystyle L({\begin{pmatrix}0&1&2\end{pmatrix}}')}
最佳解為
λ
=
(
1
0
1
)
′
{\displaystyle {\lambda }={\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}}'}
先將概似函數整理成期望值的型態
λ
=
E
λ
[
X
|
Y
=
A
X
]
{\displaystyle \mathbf {\lambda } =E_{\lambda }[X|Y=AX]}
選定起始值
λ
(
0
)
{\displaystyle \lambda ^{\left(0\right)}}
λ
(
n
+
1
)
=
E
[
X
|
Y
,
λ
(
n
)
]
{\displaystyle \lambda ^{\left(n+1\right)}=E[X|Y,\lambda ^{\left(n\right)}]}
利用EM演算法求解的缺點是當網路模型較大時，在計算上比較複雜；即使當期數夠多時，EM演算法僅能提高估計上的準確性並無法解決計算上的複雜。
假設當各條連結流量觀測的期數夠多時，根據中央極限定理
Y
¯
=
1
K
∑
k
=
1
K
Y
(
k
)
d
i
s
t
.
→
N
r
(
A
λ
,
K
(
−
1
)
A
Λ
A
′
)
,
Λ
=
d
i
a
g
(
λ
)
{\displaystyle {\bar {Y}}={\frac {1}{K}}\sum _{k=1}^{K}Y^{\left(k\right)}\;{dist.\to }\;N_{r}(A\lambda ,K^{\left(-1\right)}A\Lambda A'),\;\Lambda =diag(\lambda )}
利用動差法，令樣本平均數等於母體平均數，樣本共變異數等於母體共變異數，即
Y
¯
=
A
λ
{\displaystyle {\bar {Y}}=A\lambda }
S
=
K
(
−
1
)
A
Λ
A
′
{\displaystyle S=K^{\left(-1\right)}A\Lambda A'}
由上述式子即可估計出參數解
因此Vardi提出動差法可解決計算上的困難，也可以利用產生動差等式解決參數解不唯一的情況。
網路連結層級參數推估
所謂網路連結層級參數推估問題主要是想要推論網路連結的特性，例如節點傳輸之間資訊遺失率或延遲分配等。其主要概念為假設已知網路的形式，包含節點、路徑等，一般常見為樹狀，以及假設已知網路特性的模型，蒐集端點所測量的結果來找出有最大機率產生觀察結果的網路參數。
若考慮封包遺失率下，其主要問題架構與符號定義如下：
假設有一個樹狀網路定義為
T
=
{
V
,
E
}
{\displaystyle T=\left\{{V},{E}\right\}}
表示該網路有V個節點(包含起始節點0、終端節點R及中間節點I)、E條連結。令
X
=
(
X
k
)
k
∈
V
{\displaystyle X=(X_{k})_{k\in V}}
其中
X
k
{\displaystyle X_{k}}
k
{\displaystyle k}
X
k
=
0
{\displaystyle X_{k}=0}
k
{\displaystyle k}
X
k
=
1
{\displaystyle X_{k}=1}
k
{\displaystyle k}
此外，若
X
i
=
1
{\displaystyle X_{i}=1}
X
j
=
1
{\displaystyle X_{j}=1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
α
i
{\displaystyle \alpha \,_{i}}
舉例來說，
上圖為一個樹狀網路
T
=
{
V
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
,
E
=
{
(
0
,
1
)
,
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
2
,
4
)
,
(
2
,
5
)
,
(
3
,
6
)
,
(
3
,
7
)
}
}
{\displaystyle T=\left\{{V}=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\},{E}=\left\{(0,1),(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,6),(3,7)\right\}\right\}}
數字表示節點，起始節點為0，中間節點為1、 2、 3，而終端節點為4、5、6、7，
α
i
{\displaystyle \alpha \,_{i}}
i
{\displaystyle i}
令封包傳送結果
X
(
R
)
=
(
X
k
)
k
∈
R
{\displaystyle X_{(R)}=(X_{k})_{k\in R}}
p
(
x
;
α
)
=
P
α
(
X
(
R
)
=
x
)
{\displaystyle p\,(x;\alpha )=P_{\alpha }(X_{(R)}=x)}
並假設發送了
n
{\displaystyle n}
n
(
x
)
{\displaystyle n(x)}
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
x
1
{\displaystyle x^{1}}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
p
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
;
α
)
{\displaystyle p(x^{1},x^{2},\cdots ,x^{n};\alpha )}
=
∏
m
=
1
n
p
(
x
m
;
α
)
{\displaystyle =\prod _{m=1}^{n}p(x^{m};\alpha )}
=
∏
x
∈
Ω
p
(
x
;
α
)
n
(
x
)
{\displaystyle =\prod _{x\in \Omega }p(x;\alpha )^{n(x)}}
因此問題的目標即為估計
α
{\displaystyle \alpha }
從起始節點傳送封包，並觀察終端節點封包通過情況。傳送封包主要有兩種情況，一種為一次只傳送到一個接收的端點，稱為單一傳送 ；另一種為封包傳送到特定的一些接收端點，稱為多重傳送 。然而這兩種傳送方式較沒有彈性，且無法使用不同的流量或不同時間下觀察網域，因此Xi et al. (2006)及Lawrence et al. (2006)針對彈性傳送(flexicast) 封包的情況作探討。
此種觀察封包傳送情況來對網路做推論產生了統計反向問題 ，即利用觀察結果來診斷連結中的分配或特徵。有許多統計方法可解決此類推論問題，Castro et al. (2004)提到像是降低複雜性的階層統計模型(Complexity-Reducing Hierarchical Statistical Models)、動差或最大概似法為主的估計、EM及馬可夫鏈蒙地卡羅(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)演算方法等已被使用；且認為而使用統計方法來解決此問題的領域仍具有發展性，而未來應有更多現存的統計方法可加以應用。
以下茲列舉一種問題情況：「針對多重傳送為主的網路來推論該網路的封包遺失率」來說明網路連結參數中的遺失率推估問題。估計封包遺失率為Cáceres et al.(1999)首先研究，在假設連結遺失為獨立的伯努利分配下 ，利用最大概似法來估計多重傳送的樹狀網路中連結遺失率；他們亦證明此估計量具備強烈一致性 ，並透過最大概似估計量之漸近常態性來推導出這些估計的比率會收斂到真正的比率。
以最大概似法求估計之連結遺失率方法如下：首先計算對數概似函數，
L
(
α
)
=
log
p
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
;
α
)
=
∑
[
n
(
x
)
l
o
g
p
(
x
;
α
)
]
{\displaystyle L(\alpha )=\log \,p(x^{1},x^{2},\cdots ,x^{n};\alpha )=\sum [{n(x)}log\,p(x;\alpha )]}
則
α
{\displaystyle \alpha }
α
^
=
a
r
g
m
a
x
α
∈
[
0
,
1
]
L
(
α
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}=argmax_{\alpha \in [0,1]}L(\alpha )}
另外，Cáceres et al.(1999)亦利用終端節點接收封包機率來估計
α
{\displaystyle \alpha }
R
(
k
)
{\displaystyle R(k)}
k
{\displaystyle k}
Ω
(
k
)
{\displaystyle \Omega (k)}
R
(
k
)
{\displaystyle R(k)}
γ
k
=
P
[
Ω
(
k
)
]
{\displaystyle \gamma _{k}=P[\Omega (k)]}
γ
k
{\displaystyle \gamma _{k}}
Σ
[
n
(
x
)
n
]
{\displaystyle \Sigma \left[{\frac {n(x)}{n}}\right]}
k
=
f
(
j
)
{\displaystyle k=f\,(j)}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
f
n
(
j
)
=
f
(
f
n
−
1
(
j
)
)
{\displaystyle f\,^{n}\,(j)=f(f\,^{n-1}\,(j))}
n
{\displaystyle n}
l
(
k
)
{\displaystyle l(k)}
k
{\displaystyle k}
β
k
=
P
[
Ω
(
k
)
|
X
f
(
k
)
=
1
]
{\displaystyle \beta _{k}=P\,[\Omega (k)|X_{f(k)}=1]}
表示給定從第
k
{\displaystyle k}
γ
k
{\displaystyle \gamma _{k}}
α
{\displaystyle \alpha }
γ
k
=
β
k
∏
i
=
1
l
(
k
)
α
f
i
(
k
)
{\displaystyle \gamma _{k}=\beta _{k}\prod _{i=1}^{l(k)}\alpha _{f\,^{i}(k)}}
即將通過第k條連結所在從起始到終端節點的所有
α
k
{\displaystyle \alpha _{k}}
γ
k
{\displaystyle \gamma _{k}}
例子
以兩層的樹狀網路為例：
令通過此網路終端節點的可能情況集合為
Ω
=
{
00
,
01
,
10
,
11
}
{\displaystyle \Omega =\left\{00,01,10,11\right\}}
其中
00表示封包皆沒有通過節點2跟3，
10表示封包通過節點2但沒有通過節點3，
01表示封包通過節點3但沒有通過節點2，
11表示封包節點2跟3皆有通過。 可計算
γ
i
{\displaystyle \gamma _{i}}
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
γ
3
{\displaystyle \gamma _{3}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
則
γ
^
1
=
P
^
(
11
)
+
P
^
(
10
)
+
P
^
(
01
)
{\displaystyle {\hat {\gamma }}_{1}={\hat {P}}(11)+{\hat {P}}(10)+{\hat {P}}(01)}
γ
^
2
=
P
^
(
11
)
+
P
^
(
10
)
{\displaystyle {\hat {\gamma }}_{2}={\hat {P}}(11)+{\hat {P}}(10)}
γ
^
3
=
P
^
(
11
)
+
P
^
(
01
)
{\displaystyle {\hat {\gamma }}_{3}={\hat {P}}(11)+{\hat {P}}(01)}
γ
k
{\displaystyle \gamma _{k}}
α
{\displaystyle \alpha }
α
^
1
=
γ
^
2
γ
^
3
γ
^
2
+
γ
^
3
−
γ
^
1
=
(
P
^
(
01
)
+
P
^
(
11
)
)
(
P
^
(
10
)
+
P
^
(
11
)
)
P
^
(
11
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}={\dfrac {{\hat {\gamma }}_{2}{\hat {\gamma }}_{3}}{{\hat {\gamma }}_{2}+{\hat {\gamma }}_{3}-{\hat {\gamma }}_{1}}}={\dfrac {({\hat {P}}(01)+{\hat {P}}(11))({\hat {P}}(10)+{\hat {P}}(11))}{{\hat {P}}(11)}}}
α
^
2
=
γ
^
2
+
γ
^
3
−
γ
^
1
γ
^
3
=
P
^
(
11
)
P
^
(
01
)
+
P
^
(
11
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}_{2}={\dfrac {{\hat {\gamma }}_{2}+{\hat {\gamma }}_{3}-{\hat {\gamma }}_{1}}{{\hat {\gamma }}_{3}}}={\dfrac {{\hat {P}}(11)}{{\hat {P}}(01)+{\hat {P}}(11)}}}
α
^
3
=
γ
^
2
+
γ
^
3
−
γ
^
1
γ
^
2
=
P
^
(
11
)
P
^
(
10
)
+
P
^
(
11
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}_{3}={\dfrac {{\hat {\gamma }}_{2}+{\hat {\gamma }}_{3}-{\hat {\gamma }}_{1}}{{\hat {\gamma }}_{2}}}={\dfrac {{\hat {P}}(11)}{{\hat {P}}(10)+{\hat {P}}(11)}}}
![{\displaystyle \mathbf {\lambda } =E_{\lambda }[X|Y=AX]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c269172d4cb693cc8ec56d7b4c424fdf22ef737)
![{\displaystyle \lambda ^{\left(n+1\right)}=E[X|Y,\lambda ^{\left(n\right)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8d5ada39135a816470402b37803a66e76a5851)
![{\displaystyle L(\alpha )=\log \,p(x^{1},x^{2},\cdots ,x^{n};\alpha )=\sum [{n(x)}log\,p(x;\alpha )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3790bbbf76209841dfcbc0a883030a242df0df25)
![{\displaystyle {\hat {\alpha }}=argmax_{\alpha \in [0,1]}L(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c49ebe29cd6a46b4caa620a59bf8ba473c7808)
![{\displaystyle \gamma _{k}=P[\Omega (k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f464e949ae78aa2a5b80ef6969ed40500b817b2d)
![{\displaystyle \Sigma \left[{\frac {n(x)}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968fbf934fd23c9c97f5ffb8e0a2bb51fdb30700)
![{\displaystyle \beta _{k}=P\,[\Omega (k)|X_{f(k)}=1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06e8f24d17092f43494e9b698d018208cfcde6a)
![{\displaystyle Q({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\theta }}^{(m-1)})=E_{\mathbf {Z} \mid \mathbf {X} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(m-1)}}[logf(\mathbf {x} ,\mathbf {z} \mid {\boldsymbol {\theta }})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583d123e0bc060dbb21e94ff0b18f31b64dba0e5)
![{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=argmax_{{\boldsymbol {\theta }}\in {\boldsymbol {\Theta }}}E_{\mathbf {Z} \mid \mathbf {X} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(m-1)}}[logf(\mathbf {x} ,\mathbf {z} \mid {\boldsymbol {\theta }})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8698c9e6f12100fb8e985eda232ac06f7cdfa19)