算术-几何平均数

两个正实数算术-几何平均数定义如下:

首先计算算术平均数(相加平均),称其为。然后计算几何平均数(相乘平均),称其为;这是算术平方根

然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列

这两个数列收敛于相同的数,这个数称为算术-几何平均数,记为,或

例子

欲计算  的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:

 
  

然后进行迭代:

 
   etc.

继续计算,可得出以下的值:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.416407864999...
3 13.458203932499... 13.458139030991...
4 13.458171481745... 13.458171481706...

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。

性质

 是一个介于  的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果 ,则 

 还可以写为如下形式:

 

其中 是第一类完全椭圆积分

1和 的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数

 

存在性的证明

由算术几何不等式可得

 

因此

 

这意味着   是不降序列。同时,因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间,又可以得到该序列是有上界的(  中的较大者)。根据单调收敛定理,存在   使得:

 

然而,我们又有:

 

从而:

 

证毕。

关于积分表达式的证明

该证明由高斯首次提出[1]。 令

 

将积分变量替换为  , 其中

 

于是可得

 

因此,我们有

 

最后一个等式可由   推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式:

 

参考文献

引用

  1. ^ David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (编). Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481 [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. (原始内容存档于2020-06-14).  first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330

来源

参见