福特-富尔克森算法

福特-富尔克森方法(英語:Ford–Fulkerson method),又稱福特-富尔克森算法Ford–Fulkerson algorithm),是一类计算网络流最大流贪心算法。之所以称之为“方法”而不是“算法”,是因为它寻找增广路径的方式并不是完全确定的,而是有几种不同时间复杂度的实现方式[1][2]。它在1956年由小萊斯特·倫道夫·福特德爾伯特·雷·富爾克森[3]发表。“福特-富尔克森”这个名词通常也指代埃德蒙兹-卡普算法,这是一个特殊的福特-富尔克森算法实现。

算法的思想如下:只要有一条从源点(开始节点)到汇点(结束节点)的路径,在路径的所有边上都有可用容量,就沿着这条路径发送一个流,流量由路径上的最小容量限制。 然后再找到另一条路径,一直到网络中不存在这种路径为止。 一条有可用容量的路径被称为一条增广路径。

算法

 为一个图,并且为每条从  的边 设置一个最大流量 ,并且初始化当前流量 。下面是该算法每一步的实现:

容量限制:   每条边上的流都不能超出边的最大流量。
反向对称:     的流量一定是从  的流量的相反数(见样例)。
流量守恒:   除非 是源点 或汇点 ,一个节点的净流量为零。
f的值:   从源点 流出的流量一定等于汇点 接收的流量。

这意味着每轮计算之后通过网络的都是一个流。我们定义残留网络  是一个网络的剩余流量 。注意残留网络可以设置从  的流量,即使在原先的网络中不允许这种情况产生:如果   ,那么 :也即,从  的流量给从  的流量提供了额外的剩余量。

伪代码

算法 福特-富尔克森

输入 给定一张边的容量为 的图 ,源点 以及汇点 
输出 在网络 中,从  的最大流 
  1. 初始化网络流量 、残留网络 。对于图的每一条边 ,初始化流量 
  2. 只要 中还存在一条从  的路径 ,使对于每一条边 ,都有 
    1. 设置路径 本次应发送的流量为路径最小剩余流量: 
    2. 更新网络流量 
    3. 对于每一条边 ,更新 的剩余流量:
      1.  在路径中“发送”流)
      2.  这个流在之后可以被“发送”回来)

步骤2中的路径 可以用广度优先搜索深度优先搜索 中找到。如果使用了广度优先搜索,这个算法就是Edmonds–Karp算法

当步骤2中找不到可行路径时, 就无法在残留网络中到达 。设 是在残留网络中 可以到达的节点的集合,然后从  的其余部分的网络一方面等于我们找到的从  的所有流的总流量,另一方面所有这样的流量组成了一个上限。这说明我们找到的流是最大的。参见最大流最小割定理

如果图 有多个源点和汇点,可以按如下方法处理:设  。 添加一个新源点 与所有源点有一条边 相连,容量 。添加一个新汇点 与所有汇点  有一条边相连,容量 。然后执行福特-富尔克森算法。

同样的,如果节点 有通过限制 ,可将这个节点用两个节点 替换,用一条边 相连,容量为 。然后执行福特-富尔克森算法。

复杂度

算法通过添加找到的增广路径的流量增加总流量,当无法找到增广路径时,总流量就达到了最大。当流量是整数时,福特-富尔克森算法的运行时间为 (参见大O符号),  图中的边数, 为最大流。 这是因为一条增广路径可以在 的时间复杂度内找到,每轮算法执行后流量的增长至少为 。但是在极端情况下,算法有可能永远不会停止。

福特-富尔克森算法的一个特例是埃德蒙兹-卡普算法,时间复杂度为 

样例

下面的样例演示了福特-富尔克森在一张有4个节点,源点为 ,汇点为 的图中的第一轮计算。 这个例子显示了算法在最坏情况下的行为。在每一轮算法中,只有 的流量被发送至网络中。如果算法改用宽度优先搜索,那么只需要两轮计算。

路径 容量 网络
原流  
     
     
1998轮之后…
最终流  

注意当找到路径 时,流是如何从 发送至 的。

无法终止算法的样例

 

右图所示的网络中源点为 ,汇点为    的容量为 ,   ,使 。其它所有边的容量 。 使用福特-富尔克森算法可找到三条增广路径,分别为   .

步骤 增广路径 发送流 剩余容量
     
0      
1          
2          
3          
4          
5          

注意在步骤1和步骤5之后,边   的残留容量都可以表示为   ,同时,对于一些特殊的 这意味着算法可以通过    无限增广,并且残留容量总处于一个循环。在步骤5之后网络的流为 ,如果继续用以上的算法增广,总的流将向 趋近,但最大流为 。在这个样例中,算法将永远不会停止,且结果也不会向实际的最大流趋近。[4]

Python源码

class Edge(object):
    def __init__(self, u, v, w):
        self.source = u
        self.sink = v  
        self.capacity = w
    def __repr__(self):
        return "%s->%s:%s" % (self.source, self.sink, self.capacity)

class FlowNetwork(object):
    def __init__(self):
        self.adj = {}
        self.flow = {}
 
    def add_vertex(self, vertex):
        self.adj[vertex] = []
 
    def get_edges(self, v):
        return self.adj[v]
 
    def add_edge(self, u, v, w=0):
        if u == v:
            raise ValueError("u == v")
        edge = Edge(u,v,w)
        redge = Edge(v,u,0)
        edge.redge = redge
        redge.redge = edge
        self.adj[u].append(edge)
        self.adj[v].append(redge)
        self.flow[edge] = 0
        self.flow[redge] = 0
 
    def find_path(self, source, sink, path):
        if source == sink:
            return path
        for edge in self.get_edges(source):
            residual = edge.capacity - self.flow[edge]
            if residual > 0 and edge not in path:
                result = self.find_path( edge.sink, sink, path + [edge]) 
                if result != None:
                    return result
 
    def max_flow(self, source, sink):
        path = self.find_path(source, sink, [])
        while path != None:
            residuals = [edge.capacity - self.flow[edge] for edge in path]
            flow = min(residuals)
            for edge in path:
                self.flow[edge] += flow
                self.flow[edge.redge] -= flow
            path = self.find_path(source, sink, [])
        return sum(self.flow[edge] for edge in self.get_edges(source))

使用样例

>>> g = FlowNetwork()
>>> [g.add_vertex(v) for v in "sopqrt"]
[None, None, None, None, None, None]
>>>
>>> g.add_edge('s','o',3)
>>> g.add_edge('s','p',3)
>>> g.add_edge('o','p',2)
>>> g.add_edge('o','q',3)
>>> g.add_edge('p','r',2)
>>> g.add_edge('r','t',3)
>>> g.add_edge('q','r',4)
>>> g.add_edge('q','t',2)
>>> print (g.max_flow('s','t'))
5

应用

二分图的最大匹配

最大不相交路径

参考文献

  1. ^ Laung-Terng Wang, Yao-Wen Chang, Kwang-Ting (Tim) Cheng. Electronic Design Automation: Synthesis, Verification, and Test. Morgan Kaufmann. 2009: 204. ISBN 0080922007. 
  2. ^ Thomas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press. 2009: 714. ISBN 0262258102. 
  3. ^ Ford, L. R.; Fulkerson, D. R. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics. 1956, 8: 399. doi:10.4153/CJM-1956-045-5. 
  4. ^ Zwick, Uri. The smallest networks on which the Ford–Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate. Theoretical Computer Science. 21 August 1995, 148 (1): 165–170. doi:10.1016/0304-3975(95)00022-O.