球面像差

球面像差(英語:SA/Spherical aberration是指發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線,接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透镜和面鏡必须满足所需的形狀,否则不能聚焦在一個點上造成的。 球面像差與鏡面直徑的四次方成正比,與焦長的三次方成反比,所以他在低焦比的鏡子,也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡,當焦比低於f/10時,來自遠處的點光源(例如恆星)就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦,這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中,可以使用凸透鏡凹透鏡的組合來減少球面像差,就如同使用非球面透鏡一樣。

球面像差公式

单球面

一个球面,PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离,球面左右介质的折射率分别为n,n';非近轴入射角,折射角分别为J,J';非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U,U';近轴光线的入射角为i;这个球面对球面像差的贡献为[1]

球面像差= 

在四种情况下,球面像差为零:

  1. PA=0:物体和像与球面顶点重合;
  2. I'=I:物体和物象在球面的曲率中心;
  3. i=0;
  4. I=U'或I'=U:在这种情形下的球面成为消球差曲面。
消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出[2]

 

 

对于消球差曲面,凡是射向同一点B入射光,其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

 

 

例如,n=1,n'=1.5[3]

 

 

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜[4][3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成,对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃,对于聚合光束,消球差薄透镜增加光束的聚合度,对于发散光束,消球差薄透镜增加光束的发散度[5]

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头,球面像差由以下公式给出[6]


LA'=trans+newsp

其中 trans= 

newsp=  

球面像差展开式

球面像差可表示为

LA'= ………………[7][8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

 
球面像差
红线代表二次项,蓝线代表二次和四次项之和,黑线为二、四、六次项之和

薄透镜组的球面像差

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下[9][10]:

SC= 

其中“0”代表最后的结果,Σ代表对各镜片之和

 
 
 
 
 
 
 
 

薄透镜的球面像差

对于单薄镜片,上式可简化为[11]

单镜片的球面像差=LA'= 

令上式对c_1的导数为零,可求得单镜片具有最小球面像差的条件[12]:

 = 

 = .

当物距为无穷远时,v_1=0;

于是

 [13]

n r_1/r_2
1.5 -6
1.518 -6.7374
1.6 -14
1.7 93.5
1.8 12.1765
2 5
3 1.9
4 1.5

参考文献

  1. ^ Kingslake p104
  2. ^ Rudolf Kingslake p104-105
  3. ^ 3.0 3.1 Rudolf Kingslake p105
  4. ^ Moritz von Rohr p244
  5. ^ Rudolf Kingslake p106
  6. ^ Rudolf Kingslake p104
  7. ^ A.E.Conrady p101
  8. ^ Kingslake p114
  9. ^ Alexander Eugen Conrady, p95
  10. ^ Kingslake p117
  11. ^ Kingslake p118
  12. ^ Kingslake, p118
  13. ^ Kingslake p119
  • von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920. 

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