滾動時域估計

滾動時域估計（Moving horizon estimation、MHE）是一種利用一連串量測的信號進行最优化的作法，量測的信號中包括雜訊（英语：statistical noise）（隨機變異）以及其他的不準確性，根據這些信號產生未知參數或是變數的估計值。滾動時域估計和確定性的作法不同，滾動時域估計需要遞迴式的求解法，利用线性规划或非线性规划來找到對應的解^[1]。

若在一些可以簡化的條件下，滾動時域估計可以簡化成卡尔曼滤波^[2]。在針對擴展卡爾曼濾波器（英语：Extended Kalman filter）及滾動時域估計的評估中，發現滾動時域估計的性能有所提昇，唯一需要付出的代價是其計算成本^[3]。因為滾動時域估計在計算上的成本較高，因此一般會應用在運算資源較充裕的系統，而且是反應較慢的系統。不過在文獻中已有不少加速的方法^[4]^[5]。

簡介

滾動時域估計一般會用在动力系统中，估計一些有量測或是無法量測的狀態。會透過滾動時域估計來調整模型的初始狀態以及參數，讓估計結果接近量測結果。滾動時域估計是以在有限時間區間內，對程序模型及量測的最佳化為基礎。在時間 $t$ 時，針對當前程序狀態進行取樣，再針對包括過去在內，較短的時間區間 $[t-T,t]$ 計算可以最小化策略（會使用數值的最小化）。滾動時域估計會用即時運算（透過歐拉-拉格朗日方程）來找到在時間 $t$ 之間可以讓目標函數最小化的策略。但只有估計策略中的最後一步會用到，之後再針對滾動後的時域重新對程序數據取樣，再進行計算，得到新的狀態路徑以及估測參數。因為估計的時間區間會一直往前移動，因此此法會稱為滾動時域估計。此作法不一定是最佳的，但在實務上和卡尔曼滤波及其他估計策略比較，有不錯的結果。

原理

滾動時域估計是多變數的估計演算法，會用到

程序的內在動態模型
過去量測值的歷史
在估計時間區間內的最佳化費用函數

來計算最佳的狀態及參數

滾動時域估計的架構^[4]

其最佳化估計函數為

$J=\sum _{i=1}^{N}w_{y}(x_{i}-y_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{N}w_{\hat {x}}(x_{i}-{\hat {x_{i}}})^{2}+\sum _{i=1}^{N}w_{p_{i}}{\Delta p_{i}}^{2}$

並且沒有違反狀態或是參數的限制條件（例如上下限）

其中

$x_{i}$ = 第i個模型估計變數（例如估計溫度）

$y_{i}$ = 第i個量測變數（例如實測估計溫度）

$p_{i}$ = 第i個估計參數（例如熱傳係數）

$w_{y}$ = 加權係數，反應量測值 $y_{i}$ 的相對重要性

$w_{\hat {x_{i}}}$ = 加權係數，反應之前模型預測 ${\hat {x_{i}}}$ 的相對重要性

$w_{p_{i}}$ = 加權係數，避免 $p_{i}$ 的大幅變化

滾動時域估計使用滾動的時間區間。在每一次取樣時，時間區間會往前前進一個時間間隔，會分析量測的輸出信號以及最近的輸出信號，來估測目前時間區間的狀態。

應用

MATLAB、Python及Simulink都已有滾動時域估計的程式碼^[6]
監控工業製程的污染^[7]
石油及天然氣產業^[8]
聚合物製造^[9]
無人航空系統^[10]^[11]

參考資料

^ J.D. Hedengren; R. Asgharzadeh Shishavan; K.M. Powell; T.F. Edgar. Nonlinear modeling, estimation and predictive control in APMonitor. Computers & Chemical Engineering. 2014, 70 (5): 133–148. doi:10.1016/j.compchemeng.2014.04.013.
^ Rao, C.V.; Rawlings, J.B.; Maynes, D.Q. Constrained State Estimation for Nonlinear Discrete-Time Systems: Stability and Moving Horizon Approximations. IEEE Transactions on Automatic Control. 2003, 48 (2): 246–258. doi:10.1109/tac.2002.808470.
^ Haseltine, E.J.; Rawlings, J.B. Critical Evaluation of Extended Kalman Filtering and Moving-Horizon Estimation. Ind. Eng. Chem. Res. 2005, 44 (8): 2451–2460 [2018-12-24]. doi:10.1021/ie034308l. （原始内容存档于2008-10-05）.
^ ^4.0 ^4.1 Hashemian, N.; Armaou, A. Fast Moving Horizon Estimation of nonlinear processes via Carleman linearization. Proceedings of the American Control Conference. 2015: 3379–3385. doi:10.1109/ACC.2015.7171854.
^ Hashemian, N.; Armaou, A. Simulation, model-reduction and state estimation of a two-component coagulation process. AIChE Journal. 2016, 62: 1557–1567 [2018-12-24]. doi:10.1002/aic.15146. （原始内容存档于2016-08-17）.
^ Python, MATLAB, and Simulink CSTR Example. [2018-12-24]. （原始内容存档于2015-04-11）.
^ Spivey, B.; Hedengren, J. D.; Edgar, T. F. Constrained Nonlinear Estimation for Industrial Process Fouling. Industrial & Engineering Chemistry Research. 2010, 49 (17): 7824–7831 [2018-12-24]. doi:10.1021/ie9018116. （原始内容存档于2019-04-10）.
^ Hedengren, J.D. Kevin C. Furman, Jin-Hwa Song, Amr El-Bakry , 编. Advanced Process Monitoring (PDF). Springer’s International Series in Operations Research and Management Science. 2012 [2018-12-24]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）.
^ Ramlal, J. Moving Horizon Estimation for an Industrial Gas Phase Polymerization Reactor (PDF). IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems Design (NOLCOS). 2007. （原始内容 (PDF)存档于2009-09-20）.
^ Sun, L. Optimal Trajectory Generation using Model Predictive Control for Aerially Towed Cable Systems (PDF). Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2013 [2018-12-24]. （原始内容存档 (PDF)于2014-03-03）.
^ Sun, L. Parameter Estimation for Towed Cable Systems Using Moving Horizon Estimation (PDF). IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2015 [2018-12-24]. （原始内容存档 (PDF)于2015-06-10）.

延伸閱讀

Rawlings, James B. Model Predictive Control: Theory and Design. Mathematics in Science and Engineering. Madison, WI: [Nob Hill Publishing, LLC. 2009: 576. ISBN 978-0-9759377-0-9.

外部連結

MHE Tutorial in Simulink and MATLAB （页面存档备份，存于互联网档案馆）
MHE lecture material （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Online Course: （页面存档备份，存于互联网档案馆） MHE in Simulink, MATLAB and Python

[1] J.D. Hedengren; R. Asgharzadeh Shishavan; K.M. Powell; T.F. Edgar. Nonlinear modeling, estimation and predictive control in APMonitor. Computers & Chemical Engineering. 2014, 70 (5): 133–148. doi:10.1016/j.compchemeng.2014.04.013.

[2] Rao, C.V.; Rawlings, J.B.; Maynes, D.Q. Constrained State Estimation for Nonlinear Discrete-Time Systems: Stability and Moving Horizon Approximations. IEEE Transactions on Automatic Control. 2003, 48 (2): 246–258. doi:10.1109/tac.2002.808470.

[3] Haseltine, E.J.; Rawlings, J.B. Critical Evaluation of Extended Kalman Filtering and Moving-Horizon Estimation. Ind. Eng. Chem. Res. 2005, 44 (8): 2451–2460 [2018-12-24]. doi:10.1021/ie034308l. （原始内容存档于2008-10-05）.

[Hashemian-4] 4.0 ^4.1 Hashemian, N.; Armaou, A. Fast Moving Horizon Estimation of nonlinear processes via Carleman linearization. Proceedings of the American Control Conference. 2015: 3379–3385. doi:10.1109/ACC.2015.7171854.

[5] Hashemian, N.; Armaou, A. Simulation, model-reduction and state estimation of a two-component coagulation process. AIChE Journal. 2016, 62: 1557–1567 [2018-12-24]. doi:10.1002/aic.15146. （原始内容存档于2016-08-17）.

[6] Python, MATLAB, and Simulink CSTR Example. [2018-12-24]. （原始内容存档于2015-04-11）.

[7] Spivey, B.; Hedengren, J. D.; Edgar, T. F. Constrained Nonlinear Estimation for Industrial Process Fouling. Industrial & Engineering Chemistry Research. 2010, 49 (17): 7824–7831 [2018-12-24]. doi:10.1021/ie9018116. （原始内容存档于2019-04-10）.

[8] Hedengren, J.D. Kevin C. Furman, Jin-Hwa Song, Amr El-Bakry , 编. Advanced Process Monitoring (PDF). Springer’s International Series in Operations Research and Management Science. 2012 [2018-12-24]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）.

[9] Ramlal, J. Moving Horizon Estimation for an Industrial Gas Phase Polymerization Reactor (PDF). IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems Design (NOLCOS). 2007. （原始内容 (PDF)存档于2009-09-20）.

[10] Sun, L. Optimal Trajectory Generation using Model Predictive Control for Aerially Towed Cable Systems (PDF). Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2013 [2018-12-24]. （原始内容存档 (PDF)于2014-03-03）.

[11] Sun, L. Parameter Estimation for Towed Cable Systems Using Moving Horizon Estimation (PDF). IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2015 [2018-12-24]. （原始内容存档 (PDF)于2015-06-10）.

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