格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

格罗滕迪克对格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的评价
領域	代数几何
最初證明者	亚历山大·格罗滕迪克
最初證明年	1957
推廣	阿蒂亚-辛格指标定理
可得結果	希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理 曲面的黎曼-罗赫定理 黎曼-罗赫定理

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。

公式

令X为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群$K_{0}(X)$规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

$\mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),$

其中$A_{d}(X,\mathbb {Q} )$是d维的X上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若X定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：

$H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).$

现在考虑光滑拟射影概形与$X$上的层${{\mathcal {F}}^{\bullet }}$的有界复形之间的真射$f\colon X\to Y$。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射

$f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)$

（高阶直像的交替和）与前推

$f_{*}\colon A(X)\to A(Y),$

由公式

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).$

其中$\mathrm {td} (X)$是X（的切丛）的Todd属。因此，定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法，并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),$

其中$T_{f}$是f的相对切层，定义为元素$TX-f^{*}(TY)\in K_{0}(X)$。例如，当f是光滑态射时，$T_{f}$就只是向量丛，即沿f的纤维的切丛。

Navarro & Navarro (2017)运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。

泛化与特化

考虑组合$\mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)$的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是Y为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。

例子

曲线上的向量丛

域$k$的光滑射影曲线上秩为$n$、度为$d$（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛$E\to C$有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点$X=C$、$Y=\{*\}$，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

${\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}$

于是

$\chi (C,E)=d+n(1-g).$

此式也适于秩为$n$、度为$d$的相干层。

光滑真射

格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射$f\colon X\to Y$的纤维都是等维的（在基变为$\mathbb {C}$时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间${\mathcal {M}}$对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

曲线的模

对$g$属曲线（且无标记点）的模叠${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$，有通用曲线$\pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$，其中${\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}$是属$g$曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

${\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}$

其中$1\leq l\leq g$与$\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$是相关的对偶化层。注意$\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$在点$[C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$上的纤维，这就是对偶化层$\omega _{C}$。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环$A^{*}({\mathcal {M}}_{g})$上的$\kappa _{i}$之和 (corollary 6.2)，从而找到描述$\lambda _{i}$的$\lambda _{i}$、$\kappa _{i}$间的关系。由于${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形${\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$的覆盖，对某个有限群$G$可给出${\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]$。对$\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}$应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

$\mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))$

因为

$\mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},$

由上式可知

$\mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).$

这样，$\mathrm {ch} (\mathbb {E} )$的计算可以进一步减少。在偶数维$2k$，

${\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.$

另外在1维，

$\lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),$

其中$\delta$是边界上的一个类。$g=2$时，在光滑轨迹${\mathcal {M}}_{g}$上有如下关系

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}$

可通过分析$\mathbb {E}$的陈示性推得。

闭嵌入

闭嵌入$f\colon Y\to X$也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对$n$维光滑簇$X$及余维为$k$的子簇$Y$，有

$c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]$

由短正合序列

$0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0$,

有下式

$c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]$

for the ideal sheaf since $1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})$.

应用

模空间的准射影性

过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间$M$（如有尖代数曲线的模空间$M_{g,n}$）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察$M$上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，$M_{g,n}$有曲线族

$\pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}$

有截面

$s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}$

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛$\omega _{C}$，有相伴线丛 $$\Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))$$ 及 $$\chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).$$ 于是

$\Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)$

是丰沛线丛，因此粗糙模空间$M_{g,n}$是准射影的。

历史

亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：人们当时认为定理是关于代数簇的，而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

另见

• 川崎黎曼–罗赫公式

参考文献

• Berthelot, Pierre. Alexandre Grothendieck; Luc Illusie , 编. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225). Lecture Notes in Mathematics 225. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. xii+700. ISBN 978-3-540-05647-8. doi:10.1007/BFb0066283 （法语）. 
• Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre, Le théorème de Riemann–Roch, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1958, 86: 97–136, ISSN 0037-9484, MR 0116022, doi:10.24033/bsmf.1500  （法语） 
• Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 2 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323, Zbl 0885.14002 
• Navarro, Alberto; Navarro, José, On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis, 2017, Bibcode:2017arXiv170510769N, arXiv:1705.10769  
• Panin, Ivan; Smirnov, Alexander. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. 2000. 
• The Grothendieck Riemann–Roch theorem. 3264 and All That. 2016: 481–510. ISBN 9781107017085. doi:10.1017/CBO9781139062046.016. 

外部链接

• The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The thread （页面存档备份，存于互联网档案馆） "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
• The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
• The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.