安定時間

安定時間（Settling time）也稱為整定時間，是指放大器或控制系統在步階輸入後，輸出到達最終值，且其誤差可維持在一定範圍（一般是會對稱於最終值）內的時間，是暫態響應的特性之一。安定時間包括很短的傳播延遲，加上輸出依照瞬态率（英语：Slew rate）振盪到最終值附近的時間，以及最後安定在允許誤差附近的時間。

有能量儲存的系統無法立即反應，當輸入變化或有擾動時會有暫態的現象^[1]。

定義

Tay, Mareels and Moore（1997）定義安定時間為「輸出到達最終值附近，且和最終值之間的誤差維持在一定範圍（一般是5%到2%）內所需要的時間。」^[2]

數學細節

安定時間和系統響應及時間常數有關。

一階系統

一階RC電路的階躍響應，三倍時間常數時輸出到達輸入的95%，在五倍時間常數時輸出到達輸入的99.3%

一階系統較少定義安定時間，但一階系統在三倍時間常數後，其輸出和穩態的誤差降至 $e^{-3}\approx 0.05$ ，五倍時間常數後，其輸出和穩態的誤差降至 $e^{-5}\approx 0.0067$ ^[3]，一般已可以忽略其誤差^[4]。

二階系統

若二階欠阻尼系統的阻尼比 $\zeta \ll 1$ ，其步階響應下的安定時間可以用以下式來近似：

$T_{s}=-{\frac {\ln({\text{tolerance fraction}})}{{\text{damping ratio}}\times {\text{natural freq}}}}$

因此，誤差在2%內的安定時間為：

$T_{s}=-{\frac {\ln(0.02)}{\zeta \omega _{n}}}\approx {\frac {4}{\zeta \omega _{n}}}$ ^[5]

參考資料

^ Modern Control Engineering (5th Edition), Katsuhiko Ogata
^ Tay, Teng-Tiow; Iven Mareels; John B. Moore. High performance control. Birkhäuser. 1997: 93. ISBN 0-8176-4004-5.
^ 电工技术. 清华大学出版社有限公司. 2001: 98–. ISBN 978-7-302-04927-2.
^ 電路學(上). 五南圖書出版股份有限公司. : 251–. ISBN 978-957-11-4162-6.
^ Richard C. Dorf; Robert H. Bishop. Modern Control Systems. Addison Wesley. 1995: 223. ISBN 0-201-50174-0.

外部連結

Second-Order System Example
Op Amp Settling Time （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Graphical tutorial of Settling time and Risetime
MATLAB function （页面存档备份，存于互联网档案馆） for computing settling time, rise time, and other step response characteristics

[1] Modern Control Engineering (5th Edition), Katsuhiko Ogata

[2] Tay, Teng-Tiow; Iven Mareels; John B. Moore. High performance control. Birkhäuser. 1997: 93. ISBN 0-8176-4004-5.

[3] 电工技术. 清华大学出版社有限公司. 2001: 98–. ISBN 978-7-302-04927-2.

[4] 電路學(上). 五南圖書出版股份有限公司. : 251–. ISBN 978-957-11-4162-6.

[5] Richard C. Dorf; Robert H. Bishop. Modern Control Systems. Addison Wesley. 1995: 223. ISBN 0-201-50174-0.

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