德林斐特量子对

德林斐特量子對（Drinfeld quantum double、Drinfeld double或quantum double）是數學家德林斐特於1986年柏克萊國際數學家大會上提出的一種代數結構，由有限維霍普夫代數 $A$ 以及其對偶 $A^{*}$製作出新的霍普夫代數，還自動包含半三角結構。量子對是量子群理論中極重要的建構。

在向量空間的層次上，量子對同構於張量積 $A\otimes A^{*}$，這個代數結構相當複雜。設 $(A,S)$ 為域 $k$ 上的有限維霍普夫代數，假定 $S$ 可逆，並設 $\phi (,):A\otimes A^{*}\to k$ 為 $A$ 與 $A^{*}$ 的自然配對。下列性質確定了量子對上唯一的霍普夫代數結構：

• 自然映射 $A\to A\otimes 1\subset A\otimes A^{*}$ 與 $A^{*}\to 1\otimes A^{*}\subset A\otimes A^{*}$ 是霍普夫代數的同構。
• $\forall a\in A,b\in A^{*},\;(a\otimes 1)\cdot (1\otimes b)=a\otimes b$
• 承上，$(1\otimes b)\cdot (a\otimes 1)=\sum _{(a),(b)}\phi (S^{-1}(a_{(1)}),b_{(1)})\phi (a_{(3)},b_{(3)})a_{(2)}\otimes b_{(2)}$

任取一組基 $a_{i}\in A$ 及其對偶基 $b_{i}\in A^{*}$。元素

$R:=\sum _{i}(1\otimes a_{i})\cdot (b_{i}\otimes 1)\in {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})^{\otimes 2}$

與基的選取無關，並滿足

• $R$ 可逆。
• $R\cdot \Delta (-,-)=\Delta ^{\mathrm {op} }(-,-)\cdot R$
• $\Delta \otimes \mathrm {id} =R_{13}R_{23}$
• $\mathrm {id} \otimes \Delta =R_{13}R_{12}$

是故 $R$ 給出了 $A\otimes A^{*}$ 上的半三角結構。通常將此量子對記為 ${\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})$。

參考資料

• C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants, Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8.
• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : A Guide to Quantum Groups, ISBN 0521558840