微分叠'代数几何中的代数叠微分几何中的类似物,可描述为微分流形上的,也可描述为森田等价下的李群胚[1]

微分叠很适合处理有奇点的空间(如轨形、叶空间、商),它们自然出现在微分几何中,且不是可微流形。例如,微分叠在叶状结构[2]泊松流形[3]扭K理论中都有应用。[4]

定义

定义1(由广群纤维化)

回想在广群中纤维化的范畴(或称广群纤维化),包含范畴 、到微分流形范畴的函子 ,并满足

  1.  纤维范畴,即对任意对象 和任意箭头 ,都有箭头 ,在 上;
  2.  中的任意交换三角  上的任意箭头  上的 ,在 上存在唯一的箭,使三角 交换。

这些性质确保 ,都可以定义其纤维  ,作为 子范畴,由 U上的所有对象和在 上的所有态射组成。根据这构造, 广群是满足胶合性质的广群纤维,用下降表述。

任何流形X都定义了其切片范畴英语Overcategory  ,对象是流形U与光滑映射 组成的对子 ;则 是广群纤维,实际上也是叠。广群纤维的态射 若满足以下条件,则称作可表浸没

  • 对流形U和任意态射 纤维积 可表,即(对某个流形Y,)与作为广群纤维的 同构;
  • 诱导光滑映射 浸没

对流形X微分叠是叠 与特殊的可表浸没 (上述每个浸没 都需要是满射)。映射 称作叠X的图集、呈现或覆叠。[5][6]

定义2(由2-函子)

回想范畴 上(广群的)预叠(也称作2-预层),是2-函子  ,其中 是(集合论)广群2-范畴、及其间的态射和自然变换。是满足胶合性质的预叠(类似层满足的胶合性质)。要精确说明这性质,需要定义上的(预)叠,即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象 定义了叠 ,与另一对象 关联,形成态射 的广群 。现有叠 ,若有对象 与叠的态射 (常称作叠X的图集、呈现或覆叠)满足以下性质,则称其几何的

  • 态射 可表,即 和任何态射 纤维积 同构于作为叠的 (对某对象Z);
  • 诱导态射 满足取决于范畴 的范畴(如对流形,是要满足浸没

微分叠 (微分流形范畴,视作具有通常开覆叠拓扑的景)上的叠,即2-函子 ,其也满足几何性,即承认上面定义的图集 [7][8]

注意,将 换成仿射概形范畴,就恢复到标准代数叠概念。相似地,把 换成拓扑空间范畴,就得到拓扑叠定义。

定义3(由森田等价)

回想李群胚,包含两微分流形GM、两满射浸没 、偏乘法映射 、单位映射 、逆映射 ,满足类似群的相容性。

两个李群胚  间若有主双丛P,即有主右H 、主左G ,使得对P的两作用交换,则称GH森田等价。森田等价是李群胚间的等价,比同构弱,但足以保留许多几何性质。

微分叠记作 ,是某李群胚 的森田等价类。[5][9]

定义1、2的等价性

任何纤维范畴 都定义了2-层 。反过来,任何预叠 给出了范畴 ,其对象是流形U与对象 的对子 ,态射是映射 ,使 。这样的 配备函子 后,成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价,同样,定义1中的图集诱导了定义2中的图集,反之亦然。[5]

定义2、3的等价性

李群胚 给出了微分叠 ,将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴(即G-主丛)。 的森田类中,任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来,任何微分叠 都是 形式,即可由李群胚表示。更精确地说,若 是叠X的图集,则可定义李群胚 ,并检查 是否同构于X

Dorette Pronk提出的一个定理指出,定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。[10]

示例

  • 任何流形M定义了微分叠 ,由恒等映射 平凡地表示。叠 对应单位广群 的森田等价类。
  • 李群G定义了微分叠 ,将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴,由平凡叠态射 表示,将一点发送到G分类空间上的通用G-丛。叠 对应 的森田等价类,视作点上的李群胚(即任意具有迷向群G的传递李群胚的森田等价类)。
  • 流形M上的叶状结构 由其叶空间定义了微分叠,对应完整广群 的森田等价类。
  • 轨形都是微分叠,因为其是具有离散迷向的紧合李群胚(紧合李群胚的迷向是的,所以有限)的森田等价类。

商微分叠

给定M上的李群作用 ,其商(微分)叠是代数几何中商(代数)叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴 G-等价映射 相联系的叠 ,是由叠态射 表示的微分叠,在任意流形X上的定义如下:

 

其中 G-等价映射 [7]

 对应作用广群 的森田等价类。于是,可得到下列特殊情形:

  • M是点,则微分叠  重合
  • 若作用是半正则紧合作用(于是商 是流形),则微分叠  重合
  • 若作用是紧合作用(于是商 是轨形),则微分叠 与轨形定义的叠重合

微分空间

微分空间(differentiable space)是具有平凡稳定子的微分叠。例如,若李群半正则作用(不必紧合)于流形,则对其的商一般不是流形,而是微分空间。

配备格罗滕迪克拓扑

微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑,这给出了X上的概念。例如,X上微分p形式的层 可由流形U 给出,使 Up形式的空间。层 称作X上的结构层,表示为  带有外微分,因此是X向量空间的复:于是有了X德拉姆上同调的概念。

现有微分叠间的满态射 ,若 也是满态射,则前者称作X上的。例如,若X是叠,则 是束。Giraud提出的一条定理称, 一一对应于局部同构于 X上的束集,束有其带(band)的平凡化。[11]

参考文献

  1. ^ Blohmann, Christian. Stacky Lie Groups. International Mathematics Research Notices. 2008-01-01, 2008 [2023-12-15]. ISSN 1687-0247. arXiv:math/0702399 . doi:10.1093/imrn/rnn082. (原始内容存档于2022-12-08) (英语). 
  2. ^ Moerdijk, Ieke. Foliations, groupoids and Grothendieck étendues. Rev. Acad. Cienc. Zaragoza. 1993, 48 (2): 5–33. MR 1268130. 
  3. ^ Blohmann, Christian; Weinstein, Alan. Group-like objects in Poisson geometry and algebra. Poisson Geometry in Mathematics and Physics. Contemporary Mathematics 450. American Mathematical Society. 2008: 25–39. ISBN 978-0-8218-4423-6. S2CID 16778766. arXiv:math/0701499 . doi:10.1090/conm/450 (英语). 
  4. ^ Tu, Jean-Louis; Xu, Ping; Laurent-Gengoux, Camille. Twisted K-theory of differentiable stacks. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2004-11-01, 37 (6): 841–910 [2023-12-15]. ISSN 0012-9593. S2CID 119606908. arXiv:math/0306138 . doi:10.1016/j.ansens.2004.10.002. (原始内容存档于2023-10-12) –通过Numérisation de documents anciens mathématiques.​(法语 (英语). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Behrend, Kai; Xu, Ping. Differentiable stacks and gerbes. Journal of Symplectic Geometry. 2011, 9 (3): 285–341 [2023-12-15]. ISSN 1540-2347. S2CID 17281854. arXiv:math/0605694 . doi:10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2. (原始内容存档于2023-10-11) (英语). 
  6. ^ Grégory Ginot, Introduction to Differentiable Stacks (and gerbes, moduli spaces …)页面存档备份,存于互联网档案馆), 2013
  7. ^ 7.0 7.1 Jochen Heinloth: Some notes on differentiable stacks页面存档备份,存于互联网档案馆, Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.
  8. ^ Eugene Lerman, Anton Malkin, Differential characters as stacks and prequantization, 2008
  9. ^ Ping Xu, Differentiable Stacks, Gerbes, and Twisted K-Theory页面存档备份,存于互联网档案馆), 2017
  10. ^ Pronk, Dorette A. Etendues and stacks as bicategories of fractions. Compositio Mathematica. 1996, 102 (3): 243–303 [2023-12-15]. (原始内容存档于2023-10-11) –通过Numérisation de documents anciens mathématiques.​(法语. 
  11. ^ Giraud, Jean. Cohomologie non abélienne. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 1971, 179. ISBN 978-3-540-05307-1. ISSN 0072-7830. doi:10.1007/978-3-662-62103-5 (英国英语). 

外部链接