奇點解消

代數幾何學中,奇點解消問題探討代數簇是否有非奇異的模型(即:與之雙有理等價的非奇異代數簇)。在特徵為零的域上,廣中平祐已給出肯定答案,至於正特徵的域,四維以上的情形至今(2007年)未解。

定義

對於一個   上的代數簇  ,若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價(換言之:有相同的函數域),則稱  弱奇點解消。在實踐上常會要求更容易運用的條件:若存在非奇異代數簇   及真雙有理態射  ,使之在   的奇點集   之外為同構,則稱  奇點解消真態射的條件意在排除平凡解,例如  

一般而言,設  ,其中   是非奇異代數簇,此時一個實用的概念是    中的強奇點解消:這是一個真雙有理態射  ,滿足下述條件:

  1.   由一系列對非奇異閉子簇的拉開合成,每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。
  2.   的嚴格變換   是非奇異的,並與橫截拉開的例外除數;於是限制態射    的奇點解消。
  3.   的構造對平滑態射具函子性。
  4. 態射     中的嵌入方式無關。

廣中平祐證明了:當域   的特徵為零,則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進,以滿足全部四個條件。

簡史

代數曲線的奇點解消較容易,在19世紀已廣為人知。證明方法不一:最常見的兩種是相繼拉開奇點,或取曲線的正規化。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點,因此僅適用於曲線。

代數曲面的奇點解消先後由 Beppo Levi(1899年)、O. Chisini(1921年)與 G. Albanese(1924年)給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵均成立的代數證明由扎裡斯基於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形(1956年)。所有二維優概形(包括所有算術曲面)的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。

消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化(以消去餘維為一的奇點)並拉開奇點(以改善餘維為二的奇點,但是可能會增加新的餘維一的奇點)。

對於三維情形,零特徵域上首先由扎裡斯基證明(1944年);域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。

零特徵域上任意維度的奇點消解首先由廣中平祐於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點,其證明中對維度作了相當複雜的數學歸納法。簡化版的證明之後由許多數學家給出,包括 Bierstone 與 Milman(1997年),Encinas 與 Villamayor(1998年),Encinas 與 Hauser( 2002年)、Cutkosky(2004年),Wlodarczyk(2005年)及 Kollar(2007年)。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一,並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹,詳閱文獻中 Hauser 的著作(2003),歷史討論請見 Hauser(2000)。

A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路,這套進路被 Bogomolov 與 Pantev(1996年)及 Abramovich 與 de Jong(1997年)用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果,然而已足以替代奇點解消的許多角色。

De Jong 證明對任意域上的代數簇  ,存在滿的真態射  ,使得    非奇異。這不一定是雙有理等價, 函數域可能是有限擴張,故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將   表為一個較小空間   上的纖維化映射,使得纖維均為曲線(為此可能需要修改  ),然後藉著對維度作數學歸納法消去   的奇點,最後消去纖維上的奇點。

概形的情形

奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消:格羅滕迪克(1965, EGA IV 7.9)證明了如果在一個局部諾特概形   上有限的所有整概形都有奇點解消,則   必然是擬優概形。格羅滕迪克猜測其逆為真,換言之:如果一個局部諾特概形   是擬優且既約的,則可以消解奇點。當   定義於一個零特徵的上時,此陳述能由廣中平祐的定理導出;一般情形則化約到整完備局部環的奇點解消問題。

外部連結

文獻