失踪的正方形

失蹤的正方形谜题是一種數學上的視錯覺,有助於學生對幾何圖形的思考。它描述兩種面積板塊形狀組合,每個不同顏色多邊形部分,看似都構成一個原底方格所繪的13X5直角三角形之一部分,不同的差異是重新組合排列後,其中一個裡頭相差了似乎1個1x1的孔。

解釋

 

根據美國業餘數學大師馬丁·加德納指出,本謎題是在1953年是由紐約市業餘魔術師保羅·嘉理(Paul Curry)發明的。不過裁切悖論的原理自從1860年代就已為數學家所知了。

這謎題的關鍵是兩個分割三角形,看似「13x5的直角三角形」的兩部分,但實際上只是因為誤差小到令視覺看起來並無差異,這組出來的「13x5的直角三角形」,其實是凹斜邊三角形與凸斜邊三角形,目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率有差别(其构成的夹角約为178°45′,接近却不是平角)。 因此误以为两个组合成的图形,皆是外圍大直角三角形,所取斜邊分割的兩部分。

四個圖形(黃色、紅色、藍色和綠色圖形)總共佔32個單位面積,但是外面總「三角形」是寬13高5,合計32.5單位。藍色三角形長寬比為5:2,紅色三角則是8:3,並不是同一個長寬比。因此在每個圖中外觀上加成後的「斜邊」實際上縮短了。

總共縮短的長度大約是一單位的28分之一,這在此謎題示例圖上很難以看出。注意在藍色紅色斜邊交界處的網格點,如果將它與另一張圖的對應交界點比較,邊緣稍稍溢出或者低於格點。來自兩張圖重疊後溢出的斜邊導致一個非常細微的平行四邊形,佔據了剛好一格大小的面積,恰恰是第二張圖「消失」的區域。

變種

 
消失的小正方形謎題
 
森姆·萊特的悖論裁切
 
8乘以21版本,角ABC約等於179°31′,近乎平角而不是平角

本謎題另類且較簡單的版本(在動畫裡顯示)使用四個相等的四邊形以及一個小正方形,则組成一個較大的正方形。當四邊形繞著其中心旋轉,中間的小正方形將被填滿,即使該圖的總面積看起來沒有變動。這外表上的悖論可由新形成的方形四邊較原來的小了一點。如果   代表大正方形的四邊和,且  是每個四邊形相對邊間的夾角,那兩個旋轉前旋轉後方塊面積間相除的商結果是 。對於 ,結果大約是1.00765,故對應的差異大約0.8%。

外部連結