切萨罗求和
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切薩羅求和(英語:Cesàro summation)也稱為切薩羅平均(Cesàro mean)[1][2]或切薩羅極限(Cesàro limit)[3],是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅(Ernesto Cesàro)發明,是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α,則其切薩羅和存在,其值為 α,而有些發散級數也可以用切薩羅求和的方式,計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是切薩羅可求和的級數。
切薩羅求和可視為是一種特殊的矩陣可求和法。
切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解,而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的Eilenberg–Mazur swindle有關。有關切薩羅可求和級數,常被提到的是格蘭迪級數,依照切薩羅求和可得其「和」為1/2。
定義
令{an}為一數列,且令
為數列前k項的部份和:
- .
若以下的條件成立,則此數列{an}的切薩羅和存在,且其值為α。
- .
格蘭迪級數的例子
令 an = (-1)n+1, n ≥ 1。因此{an} 為以下的數列:
- 。
其部份和組成的數列 {sn} 為
- ;
此數列為格蘭迪級數,不會收斂。
而數列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各項分別為
- ;
當n趨近於無限大,切薩羅和為如下極限:
- 。
因此,數列 {an} 的切薩羅和為 1/2。
推廣
切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和,表示為(C, n),其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和,而(C, 1)就是上述的切薩羅和。
n>1時的(C, n) 如下所述: 對於級數Σan, 定義
(上面的指数不表示指数)且定義 Enα 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 Anα。 則 Σan 的 (C, α) 和則為
若以上數值存在。[4]
这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。
相關條目
註解
- ^ Hardy, G. H. Divergent Series. Providence: American Mathematical Society. 1992. ISBN 978-0-8218-2649-2.
- ^ Katznelson, Yitzhak. An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover Publications. 1976. ISBN 978-0-486-63331-2.
- ^ Henk C. Tijms. A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons. 2003: 439. ISBN 978-0-471-49880-3.
- ^ Shawyer and Watson pp.16-17
參考文獻
- Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.