全純域
在數學的多複變函數論中,全純域是在下述意義下為極大的區域:在其上存在一個全純函數,使得不能延拓至更大的區域上。
正式而言,在n維複空間中的開集稱為全純域,如果不存在非空開集和,其中是連通的, ,以及,使得對在上的每個全純函數,存在一個在上的全純函數,在上有。
當n = 1時,每個開集都是全純域。但是,當n ≥ 2時,哈托格斯引理指出存在不是全純域的區域。
等價條件
對一個區域 以下條件等價:
- 是全純域。
- 是全純凸的。
- 是偽凸的。
- 是萊維凸——對每個解析緊曲面列 ,使得 及 對某集合 ,我們有 ( 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。)
- 有局部萊維性質——對每個點 ,存在 的鄰域 ,及在 上全純的 ,使得 不能延拓到 的任何鄰域上。
其中關係 是標準結果。( 見岡引理。)主要的困難在證明 ,即從只是局部定義的不可延拓函數,構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為萊維問題,以Eugenio Elia Levi命名。最先解出問題的是岡潔,之後是拉爾斯·霍爾曼德爾,用的方法包括泛函分析和偏微分方程( 問題的一個結果)。
性質
參見
參考
- Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
- Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992