在數學的多複變函數論中,全純域是在下述意義下為極大的區域:在其上存在一個全純函數,使得不能延拓至更大的區域上。

定義中的集合

正式而言,在n維複空間中的開集稱為全純域,如果不存在非空開集,其中連通的, ,以及,使得對在上的每個全純函數,存在一個在上的全純函數,在上有

n = 1時,每個開集都是全純域。但是,當n ≥ 2時,哈托格斯引理英语Hartogs lemma指出存在不是全純域的區域。

等價條件

對一個區域 以下條件等價:

  1.  是全純域。
  2.  全純凸英语holomorphically convex的。
  3.  偽凸英语pseudoconvex的。
  4.  萊維凸——對每個解析緊曲面列 ,使得  對某集合 ,我們有   不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。)
  5.  局部萊維性質——對每個點 ,存在 的鄰域 ,及在 上全純的 ,使得 不能延拓到 的任何鄰域上。

其中關係 是標準結果。( 岡引理。)主要的困難在證明 ,即從只是局部定義的不可延拓函數,構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為萊維問題英语Levi problem,以Eugenio Elia Levi英语Eugenio Elia Levi命名。最先解出問題的是岡潔,之後是拉爾斯·霍爾曼德爾,用的方法包括泛函分析和偏微分方程( 問題的一個結果)。

性質

  •  是全純域,則其交 也是全純域。
  •  是全純域的上升列,則其併 也是全純域。(見本克-施泰因定理英语Behnke-Stein theorem
  • 兩個全純域 的積 是全純域。
  • 第一庫贊問題英语Cousin problems在全純域內可解;若再加上一些拓撲假設,第二庫贊問題也可解。

參見

參考

  • Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
  • Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992