代數獨立

在抽象代數裡，一個體$L$的子集$S$若被稱做代數獨立於一子體$K$的話，表示$S$內的元素都不符合係數包含在$K$內的非平凡多項式。這表示任何以$S$內元素排成的有限序列$\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$（沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在$K$的非零多項式$P(x_{1},\cdots ,x_{n})$，都會得到：

$P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0$

特別的是，單元素集合$\{\alpha \}$若是代數獨立於$K$的話，若且唯若$\alpha$會是$K$內的超越數或超越函數。一般而言，和於$K$代數獨立集合的所有元素也必然會是$K$內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，實數$\mathbb {R}$的子集$\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$並不代數獨立於有理數$\mathbb {Q}$，當存在一非零多項式：

$P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$

$x_{1}$代入${\sqrt {\pi }}$和$x_{2}$代入$2\pi +1$時會變成$0$。

林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當$\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$為線性獨立於有理數的代數數時，${\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}$便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合$\{\pi ,{\mbox{e}}\}$是否代數獨立於有理數。Nesterenko在1996年證明了$\{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}$是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張$L/K$，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一$L$的最大代數獨立子集於$K$。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。