幾何學中,二面體是指由2個面組成的多面體,但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面,因此少於四個面的多面體只能是退化的,換句話說,小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體,即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌:一角形二面體,它的對偶是一面形。另外二面體也可以以環形多面體英语Toroidal polyhedron正則地區圖的形式存在。

二面體
部分的二面體
一角形二面體
一角形二面體
環形二面體{4,4}1,1
環形二面體{4,4}1,1
一角錐
一角錐
二面形
二面形

二面體中不存在任何柱體,因為如果柱體要僅有兩個面,代表其不存在側面,而這樣的立體就不是柱體了。

常見的二面體

平面圖形

任何平面圖形都可以視為一個二面體,並且屬於二面體群

若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體,如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群,是透鏡空間英语Lens_space的基本域[1]

球面鑲嵌

二面體可以以球面鑲嵌的方式存在,最簡單的例子是二面形

名稱 二面形 一角形二面體 多邊形二面體
圖像      
施萊夫利符號 {2,2} {1,2}
h{2,2}
{n,2}
考克斯特記號                  

二面形

一個二面形,是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形,施萊夫利符號中利用{2,2}來表示,該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。

一角形二面體

 
球面上的一角形二面體

一角形二面體,又稱為雙一角形(dimonogon[2])是一種退化的多邊形二面體,由2個一角形組成,這個幾何結構只有1個頂點,該頂點為2個一角形的公共頂點,在施萊夫利符號中用{1,2}表示,其具有2個面、1條邊和1個頂點,對偶多面體是一個一面體:一面形。[2]

球面幾何學中,一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體,施萊夫利符號中利用{1,2}來表示,與的兩個半球形一角形面,共用一個360°的和一個頂點。它的對偶是一面形施萊夫利符號中利用{2,1}來表示,具有一個二角形面(一個完整的360°弓形),一個180°的邊緣,和兩個頂點,因此屬於一面體

一角形二面體可以截角三面形[2][3]

 
作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示
 
截角的一角形二面體,紅色為截角的截面,所形成的立體為三面形

一角錐

 
作為球面鑲嵌的一角錐

一角錐是指底面一角形的錐體,由於其底面為一角形,因此在歐幾里得空間中,其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中,其可以作為球面鑲嵌,此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐,因此是一種自身對偶的多面體。

雙一角錐

雙一角錐是以一角形的雙錐體,為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底,因此在歐幾里得空間中,其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中,其可以作為球面鑲嵌,這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成,其兩個面都是三角形,但拓撲結構與三角形二面體不同,其中的兩個頂點為對蹠點,剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱

環形多面體

 
{4,4}1,1是一種在環面由兩個兩兩共用頂點的四邊形組成

部分的環形多面體也是二面體,例如{4,4}1,1是一種環形二面體[5],為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊;以及{3,6}1,0也是一種環面二面體,為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。

正則地區圖

部分的正則地區圖由兩個面組成,可以視為二面體的一種,例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊[6],並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次,也就是頂點周圍圍繞著4個八邊形,且對應的皮特里多邊形為八邊形,因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}8來表示[7];S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊[8],並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次,也就是其頂點周圍圍繞著六個六邊形,且對應的皮特里多邊形為二角形,因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}2來表示[7];S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊[9],並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次,也就是其頂點周圍圍繞著10個五邊形,且對應的皮特里多邊形為二角形,因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}2來表示[7]

虧格 名稱 施萊夫利符號 頂點 組成面 頂點圖 皮特里多邊形 對偶
2[7] S2:{8,4} {8,4}8 4 8 2 八邊形 四邊形(4個八邊形的公共頂點) 八邊形 S2:{4,8}(4個面)
S2:{6,6} {6,6}2 2 6 2 六邊形 六邊形(6個六邊形的公共頂點) 二角形 自身對偶
S2:{5,10} {5,10}2 1 5 2 五邊形 十邊形(10個五邊形的公共頂點) 二角形 S2:{10,5}(1個面)
3[10] S3:{12,4} {12,4}6 6 12 2 十二邊形 四邊形(4個十二邊形的公共頂點) 六邊形 S3:{4,12}(6個面)
S3:{8,8}4 {8,8}4 2 8 2 八邊形 八邊形(8個八邊形的公共頂點) 四邊形 自身對偶[11][12]
S3:{8,8}2 {8,8}2 二角形
S3:{7,14} {7,14}2 1 7 2 七邊形 十四邊形(14個七邊形的公共頂點) 二角形 S3:{14,7}(1個面)
4[13] S4:{16,4} {16,4}16 8 16 2 十六邊形 四邊形(4個十六邊形的公共頂點) 十六角形 S4:{4,16}(8個面)
S4:{12,6} {12,6}4 4 12 2 十二邊形 六邊形(6個十二邊形的公共頂點) 四邊形 S4:{6,12}(4個面)
S4:{10,10} {10,10}2 2 10 2 十邊形 十邊形(10個十邊形的公共頂點) 二角形 自身對偶
S4:{9,18} {9,18}2 1 9 2 九邊形 十八邊形(18個九邊形的公共頂點) 二角形 S4:{18,9}(1個面)

圓錐

在不嚴謹的情況下,圓錐也能算是一種二面體,因為它可以看做是只有兩個面的幾何體,由一曲面(側面)和一圓形平面(底面)所組成。

二面體列表

名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性
一角形二面體 多邊形二面體   {1,2}
   
1 1 2 2 2個一角形  C1v
(*22)
二面形 多面形
多邊形二面體
  {2,2}
     
2 2 2 2 2個二角形  D2h
(*222)
一角錐 角錐
退化多面體
球面多面體
  ( )∨{1} 2 2 2 2 1個一角形
1個三角形
C1v, [1]
雙一角錐 雙錐體
退化多面體
球面多面體
  { }+{1} 3 3 2 2 2個三角形 D1h, [1,2], (*221) order 4
四面形半形
(hemi-4-hosohedron)[14]
多面形
多面體半形
{2,4}4/2 1 2 2 1 2個二角形 
三維多邊形 多邊形二面體   {n,2}
     
n n 2 2 2個全等的多邊形  Dnh
(*n22)
二階無限邊形鑲嵌[16] 鑲嵌圖   {∞,2}
     
     
2 2 2個無限邊形  [∞,2], (*∞22)
{4,4}1,1 環形多面體   {4,4}1,1 2 4 2 0 2個正方形 
{3,6}1,0 環形多面體   {3,6}1,0 1 3 2 0 2個正三角形 
S2:{8,4}[6] 正則地區圖 {8,4}8[7] 4 8 2 -2 2個八邊形
S2:{6,6}[8] 正則地區圖 {6,6}2[7] 2 6 2 -2 2個六邊形
S2:{5,10}[9] 正則地區圖 {5,10}2[7] 1 5 2 -2 2個五邊形
圓錐體 非嚴格多面體
曲面
柱體
  1 1 2 2 1個曲面
1個圓形

參見

參考文獻

  1. ^ Gausmann, Evelise; Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces. Classical and Quantum Gravity. 2001, 18: 5155–5186. arXiv:gr-qc/0106033 . doi:10.1088/0264-9381/18/23/311. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 The dimonogon. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2021-07-31). 
  3. ^ The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2022-12-15). 
  4. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  5. ^ Coxeter 1980 [4], 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
  6. ^ 6.0 6.1 S2:{8,4}. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Regular maps in the orientable surface of genus 2. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2022-11-29). 
  8. ^ 8.0 8.1 S2:{6,6}. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  9. ^ 9.0 9.1 S2:{5,10}. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  10. ^ Regular maps in the orientable surface of genus 3. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2021-10-19). 
  11. ^ S3:{8,8}4. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  12. ^ S3:{8,8}2. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  13. ^ Regular maps in the orientable surface of genus 4. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2021-10-19). 
  14. ^ The hemi-4-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. (原始内容存档于2020-02-01). 
  15. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
  16. ^ Conway (2008)[15], p. 263