三角函数线

三角函数线是正弦线、余弦线和正切线的总称,是三角函数几何表示。

三角函数线,角α的所有三角函数在几何上可以依据以O点为圆心的单位圆来构造。

由于与点Px, y在终边上的位置无关,为简单起见,选取角α的终边 与单位圆的交点为Px, y,则sin α = y, cos α = x

过点Px轴的垂线,垂足为M,显然,线段OM的长度为 |x|,为了去掉绝对值符号,我们引入有向线段的概念[1]

有向线段

规定了方向(起点和终点)的线段称为有向线段(与向量有区别),类似地可以把规定了正方向的直线称为有向直线。若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB

正弦线和余弦线

引入有向线段的概念后,如果x > 0,如图,有向线段OMx轴同向,其数量为x,如果x < 0,有向线段OMx轴反向,其数量也为x,故总有OM = x。同理可知MP = y

所以有,sin α = MP, cos α = OM

即有向线段MPOM的数量分别等于α的正弦、α的余弦。因此,我们把有向线段MPOM分别叫作角α正弦线余弦线

正切线

当角α的终边在y轴的右侧时(如左图),在角α的终边上取点T(1, y​',则 A为单位圆与x轴正半轴的交点)

当角α终边在y轴左侧时(如右图),在角α的终边的反向延长线上取点T(1, y​'由于它关于原点的对称点Q(−1, −y​'在角α的终边上,故有 

即总有tan α = AT

因此,我们把有向线段AT叫做角α的正切线

  

参考资料

  1. ^ 《数学 必修4》. 江苏教育出版社. : 12~13. ISBN 978-7-5343-6225-5 (中文(简体)).