十二律

(重定向自三分損益法

十二律中国傳統音樂使用的音律,後來逐漸傳入到朝鮮日本越南等東南亞國家。律,本指用來定音的竹管,古人用十二個不同長度的律管,吹出十二個高度不同的標準音高,以定出音階的高低,故這十二個標準音高也叫十二律。

中國古代以「三分損益法」定律,將十二個音逐個導出;而前五個音與主音的數學關係較為簡單,同時也是常用音階,故又與十二個音並稱五音十二律

音調

 

十二律分為陰陽兩類,奇數六律為陽律,叫做六律;偶數六律為陰呂,稱為六呂,合稱律呂。一般所說的六律包括陰陽各六的十二律。

三分損益法

相傳三分損益法為管仲所發明。[1]

司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到:「……九九八十一以為宮。三分去一,五十四以為徵。三分益一,七十二以為商。三分去一,四十八以為羽。三分益一,六十四以為角。」

意思是取一根用來定音的竹管,長為81單位,定為「宮音」。然後將81乘上2/3,就得到54單位,定為「徵音」。將徵音的竹管長度54乘上4/3,得到72單位,定為「商音」。將商音72乘2/3,得48單位,為「羽音」。羽音48乘4/3,得64單位,為「角音」。而這五個音高,被稱為中國的五音

中國音樂中用來定音律的「三分損益法」的確立是考「中聲」而量之以制。儒家的「中聲」指音高、速度適中的有節制的音樂,「琴瑟尚宮,鍾尚羽,石尚角,匏竹利制,大不逾宮,細不過羽」[2],要舍卻彈奏中的「煩手」(複雜多變)。《左傳》有鮮明排斥過度追求音響、速度變化的「淫聲」、以能使人保持平和「中聲」為美的思想[3]。 「畢氏學派」中的「五度相生律」與三分損益法相似,但是五度相生律与三分益损法上下生成次序有不同,产生的音階相对应为中国音階中的燕调式,与中国流行的宫调式不同。

三分損益與十二律的相關物理

在聲學中,聲高指物體振動的頻率。取一簡單物體用來定音高時(如竹管、絲絃),則它的頻率與其長度是成反比的關係。如果物體的材質固定,長度愈長,聲音愈低。

除此之外,當長度減為一半時,頻率將變為原先的兩倍;長度增成為原先的兩倍時,頻率成為原先的一半。將這種互為二倍數的特殊比例,定義為彼此互為「八度音」。由此,便可以從九九八十一的長度出發,試算前述藉由「三分損益」求得的長度,所得到的十二律(宫调):

黃鐘(C):  (n = 0)

林鐘(G,由黃鐘三分損而來):  (n = 0 + 7 = 7)

太簇(D,由林鐘三分益而來):  (n = 7 - 5 = 2)

南呂(A,由太簇三分損而來):  (n = 2 + 7 = 9)

姑冼(E,由南呂三分益而來):  (n = 9 - 5 = 4)

應鐘(B,由姑冼三分損而來):  (n = 4 + 7 = 11)

蕤賓(F#,由應鐘三分益而來):  (n = 11 - 5 = 6)

大呂(C#,由蕤賓三分益而來):  (n = 6 - 5 = 1)

夷則(G#/Ab,由大呂三分損而來):  (n = 1 + 7 = 8)

夾鐘(D#/Eb,由夷則三分益而來):  (n = 8 - 5 = 3)

無射(A#/Bb,由夾鐘三分損而來):  (n = 3 + 7 = 10)

仲呂(F,由無射三分益而來):  (n = 10 - 5 = 5)

清黃鐘(黃鐘的高八度音,由仲呂三分損而來):  (n = 5 + 7 = 12)

  • 注意,最後一個「清黃鐘」的長度39.9548849,與直接取「黃鐘」長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距,這就是「黃鐘不能還原」的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後,最後的值不可能達到原始的 1/2。 
  • 另外,若在定律時不斷地使用三分損益的操作,最後一定會出現除不盡的小數,使得在實際製作時容易產生誤差。然而在現實上,準確度(Accuracy)與精密度(Precision)絕對有其極限,所以經過十二次的三分損益之後,已經可以構成一個(不甚完美)的音階循環。這也是為何中西音樂理論中,都不約而同地發展出以「12音階」為主流的原因。之後才會出現如純律十二平均律等不同的改進或修正方法。

從上面所計算出來的結果,對照《史記·律書》中的文字,便可發現當中的抄錄錯誤。宋代沈括的《夢溪筆談》,便記載了《律書》當中出現「七分」之類的文字,當為「十分」的誤寫。因此原文中的黃鐘「八寸七分一」為「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律與史記的文字記載比較,並附上與西方「參考音名」與「十二平均律的誤差」計算。

 

中國音名

三分損益(由原文更正後)

西方音名

十二平均律

三分損益與十二平均律之偏差(%)

黃鐘 81 C 81 -
林鐘 54 G 54.0610 0.11
太簇 72 D 72.1628 0.23
南呂 48 A 48.1629 0.34
姑洗 64 E 64.2898 0.45
應鐘 42.6667 B 42.9083 0.56
蕤賓 56.8889 F♯ 57.2757 0.68
大呂 75.8519 C♯ 76.4538 0.79
夷則 50.5679 G♯ 51.0268 0.90
夾鐘 67.4239 D♯ 68.1126 1.01
無射 44.9492 A♯ 45.4597 1.12
仲呂 59.9323 F 60.6814 1.23

若不照音高排列,而是如上表照三分损益法排列十二律,则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。

音律與曆法的配合

由於音律與一年中的月分恰好都定有十二個,於是在中國上古時代,人們便把十二律和十二月聯繫起來,又名十二月律。例如大秦景教流行中國碑中有「太蔟月」即正月。依照《禮記·月令》上的記載,它們之間的對應為:

孟春之月,律中太簇;
仲春之月,律中夾鐘;
季春之月,律中姑洗;
孟夏之月,律中仲呂;
仲夏之月,律中蕤賓;
季夏之月,律中林鐘;
孟秋之月,律中夷則;
仲秋之月,律中南呂;
季秋之月,律中無射;
孟冬之月,律中應鐘;
仲冬之月,律中黃鐘;
季冬之月,律中大呂。

所謂「律中」就是「音律的對應」,其徵驗的方法則是憑「吹灰」。據說古人將十二根律管裡塞入葭莩的灰,只要到了某個月分,相對應的那一隻律管中的灰就會自動地飛揚出來,這便是「吹灰候氣」、「夷則為七月之律」等詞彙的典故。當然以今日的觀點,吹灰候氣並沒有現實的根據。

值得注意的一點,十二律中最基本的是黃鐘,而中國曆法最基本的則是含有冬至的月分。《月令》中所列出的,正是以黃鐘對應冬至所在的仲冬月分——子月(大雪至小寒之月)。

另外,《周髀算經》提及由於中國古代使用天干地支,以六十年甲子為一個週期,而60又包含2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等公約數,所以不同時期規律出現的天象,會在60年內集中重複,這些看似奇異的現象實際上是可以用數理邏輯解釋清楚的。

參考

  1. ^ 《管子‧地員篇》:凡將起五音,凡首,先主一而三之,四開以合九九;以是生黃鐘小素之首,以成宮。三分而益之以一,爲百有八,爲徵。不無有三分而去其乘,適足,以是生商。有三分而復於其所,以是成羽。有三分去其乘,適足,以是成角。
  2. ^ 《國語‧周語下》
  3. ^ 《春秋左氏傳‧昭公‧昭公元年》:公曰.女不可近乎對曰.節之.先王之樂.所以節百事也.故有五節遲速本末以相及.中聲以降.五降之後.不容彈矣.於是有煩手淫聲.慆堙心耳.乃忘平和.君子弗聽也.物亦如之.至於煩.乃舍也已.無以生疾.君子之近琴瑟.以儀節也.非以慆心也.天有六氣.降生五味.發為五色.徵為五聲.淫生六疾.六氣曰陰.陽.風.雨.晦明也.分為四時.序為五節.過則為菑.陰淫寒疾.陽淫熱疾.風淫末疾.雨淫腹疾.晦淫惑疾.明淫心疾.女陽物而晦時.淫則生內熱惑蠱之疾.今君不節不時能無及此乎.出告趙孟.趙孟曰.誰當良臣.

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 欽定古今圖書集成·經濟彙編·樂律典·律呂部》,出自陈梦雷古今圖書集成

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