七維正八胞體

幾何學中,七維正八胞體OctaexonOcta-7-tope)是一種自身對偶七維多胞體英语7-polytope[1], 是七維空間的單純形也是七維空間中最簡單的正圖形,因此又稱為7-單純形(7-simplex[2]:127 ,由8個六維正七胞體六維胞維基數據所列Q18028565組成,其二面角為cos−1(1/7)約為81.79°[1]。喬納森·鮑爾斯(Jonathan Bowers)將七維正八胞體縮寫為oca[3]

正八胞體
類型七維多胞體英语7-polytope
八胞體
家族單純形
維度七維
對偶多胞形七維正八胞體自身對偶在维基数据编辑
識別
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
oca在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 3 node 
施萊夫利符號{3,3,3,3,3,3}
{36}在维基数据编辑
性質
六維8個六維正七胞體
五維28個五維正六胞體
四維56個正五胞體
70個正四面體
56個正三角形
28
頂點8
歐拉示性數2
特殊面或截面
皮特里多边形正八邊形
組成與佈局
顶点图六維正七胞體
對稱性
對稱群A7 [3,3,3,3,3,3]
特性

性質

七維正八胞體共由8個頂點、28條、56個三角形、70個正四面體三維胞、56個正五胞體四維胞英语4-face、28個五維正六胞體五維胞維基數據所列Q18028552和8個六維正七胞體六維胞維基數據所列Q18028565組成,其中六維正七胞體為七維正八胞體的維面。 对于一个边长为a的七維正八胞体,其超胞积是 ,表胞积是 ,高是 。 若一个七維正八胞体的棱长为1,则其外接七維超球的半径为 ,內切七維超球的半径为 [1]

邊長為2的七維正八胞體可以內接於單位七維超立方體英语7-cube中。[4]下一個可以內接於單位超方形的最大單純形十一維正十二胞體[5]

作為一種排佈

七維正八胞體的排佈矩陣英语Configuration_(polytope)為:[1]

 

行和列對應於七維正八胞體的頂點四維胞英语4-face五維胞維基數據所列Q18028552六維胞維基數據所列Q18028565。對角線上的數字表示該元素在七維正八胞體中的數量。非對角線的數量表示對應行所代表的元素上有多少列所代表的元素交於該處。由於七維正八胞體是一種自身對偶的多胞體,因此這個排佈矩陣旋轉180度後會相同。[6][7]

頂點座標

若一個七維正八胞體幾何中心位於原點,且邊長為2單位長,則其頂點座標為:

 
 
 
 
 
 
 

透過將七維正八胞體可以內接於七維超立方體英语7-cube中可以獲得更簡單的座標集合,其值為:[1]

 
 
 
 
 
 
 
 

更簡單地,七維正八胞體可以坐落於八維空間座標(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。這個結構是基於八維正軸體英语8-orthoplex維面

圖像

三維空間的七維正八胞體
 
三角化四面體包络中的球棍模型
 
振幅多面體英语Amplituhedron表面呈現的七維正八胞體
 
七維正八胞體投影到三維,再用相機投影示意其皮特里投影

正交投影

正投影圖
Ak考克斯特平面英语Coxeter_element#Coxeter_plane A7 A6 A5
圖像      
二面體群對稱性英语Dihedral symmetry [8] [7] [6]
Ak考克斯特平面 A4 A3 A2
圖像      
二面體群對稱性 [5] [4] [3]

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Klitzing, Richard. octaexon. bendwavy.org. [2022-12-19]. (原始内容存档于2022-12-19). 
  2. ^ French, K.L. The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature. Gateway series. Watkins Media Limited. 2014 [2022-12-19]. ISBN 9781780288451. (原始内容存档于2023-01-09). 
  3. ^ Klitzing, Richard. 7D uniform polytopes (polyexa) x3o3o3o3o3o3o — oca. bendwavy.org. 
  4. ^ Adams, Joshua; Zvengrowski, Peter; Laird, Philip. Vertex Embeddings of Regular Polytopes. Expositiones Mathematicae. 2003. 
  5. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A019442. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Integers n such that a simplex of dimension n-1 can be inscribed in a hypercube of dimension n-1 
  6. ^ Coxeter, H.S.M. §1.8 Configurations. [[:正多胞形 (書籍)|Regular Polytopes]]英语Regular Polytopes (book)]] 3rd. Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8.  网址-维基内链冲突 (帮助)
  7. ^ Coxeter, H.S.M. Regular Complex Polytopes 2nd. Cambridge University Press. 1991: 117 [2022-12-19]. ISBN 9780521394901. (原始内容存档于2023-01-09).