一元布尔代数

抽象代数中,一元布尔代数是带有如下标识(signature)的代数结构

<A, ·, +, ', 0, 1, ∃> 有 <2,2,1,0,0,1>,

这里的 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布尔代数

前缀一元算子 ∃ 指示存在量词,它满足恒等式:

  1. ∃0 = 0
  2. xx
  3. ∃(x + y) = ∃x + ∃y
  4. xy = ∃(xy).

xx 的“存在闭包”。对偶于 ∃ 的是一元算子 ∀,它是全称量词,定义为 ∀x := (∃x' )'。

一元布尔代数有对偶公式,取 ∀ 为原始,把 ∃ 定义为 ∃x := (∀x ' )' 。所以对偶的代数有标识 <A, ·, +, ', 0, 1, ∀>,带有 <A, ·, +, ', 0, 1> 是布尔代数。此外,∀ 满足上面恒等式的对偶版本:

  1. ∀1 = 1
  2. xx
  3. ∀(xy) = ∀xy
  4. x + ∀y = ∀(x + ∀y).

xx 的“全称闭包”。

讨论

一元布尔代数与拓扑学有重要联系。如果 ∀ 被解释为拓扑学的内部算子,上面的(1)-(3)公理加上公理 ∀(∀x) = ∀x 建成了内部代数的公理。但是 ∀(∀x) = ∀x 不能从 (1)-(4) 来证明。此外,一元布尔代数的另一个可供选择的公理化组成自(重解释的)内部代数的公理加上 ∀(∀x)' = (∀x)' (Halmos 1962: 22)。所以一元布尔代数是半单纯的内部/闭包代数使得:

一元布尔代数的更简洁的公理化是上述 (1) 和 (2) 加上 ∀(x∨∀y) = ∀x∨∀y (Halmos 1962: 21)。这个公理化模糊了与拓扑学的联系。

一元布尔代数形成了一个。它们对应一元谓词逻辑,而布尔代数对应于命题逻辑,而多元代数对应于一阶逻辑Paul Halmos 在研究多元代数的时候发现了一元布尔代数;Halmos (1962) 再版了相关的论文。

一元布尔代数还与模态逻辑有重要联系。模态逻辑 S5,被看作 S4 中一个理论,是一元布尔代数的模型,如同模态逻辑 S4 是内部代数的模型。类似的,一元布尔代数为 S5 提供了代数语义。所以 S5-代数是一元布尔代数的同义词。

参见

引用

  • Paul Halmos,1962. Algebraic Logic. New York: Chelsea.
  • ——and Steven Givant, 1998. Logic as Algebra. Mathematical Association of America.