子集

集合A是集合B的子集,是指A的所有元素都是B當中的元素
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子集(英語:subset)亦稱部分集合,為某集合中部分元素的集合;關係相反時則稱作父集母集超集。子集與父集的关系被称为“包含”。

A是B的子集,B是A的超集。

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为,读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。

即:,有,则

集合,且的所有元素都是的元素,则可表示為:

  • 子集(或称包含于 );
  • 父集超集(或称包含 );

任何集合皆是本身的子集()。而的子集中不等于的集合,称为真子集,若的真子集,写作

定义

假设有  两个集合,如果 中的每个元素都是 的元素,则:

  •   子集,记作 
也可以说
  •   超集,记作 

如果  的子集,但 等于 (即 中至少存在一个元素不在 集合中),则:

  •   真子集,记作 
也可以说
  •   真超集,记作 

符号

ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配:[1]

  •  表示子集关系, 表示真子集关系。使用的作品如[2][3][4]
  •  表示子集关系, 表示真子集关系。使用的作品如[5]:p.6

举例

  • 集合 是集合 的真子集。
  • 自然数集合是有理数集合的真子集。
  • 集合 是大于2000的素数 是集合 是大于1000的奇数 的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,写作 ,是任意集合 的子集。空集总是其他集合的真子集,除了其自身。

性质

 
A是B的子集。

命题1空集是任意集合的子集。

这个命题说明:包含是一种偏序关系

命题2:若 是集合,则:

自反性
  •  
反对称性
  •   当且仅当 
传递性
  •    

这个命题说明:对任意集合  幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数

命题3:若 是集合 的子集,则:

存在一个最小元和一个最大元
  •   由命題1給出)
存在并运算
  •  
  •    
存在交运算
  •  
  •    

命题4:对任意两个集合  ,下列表述等价:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

这个命题说明:表述" ",和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。

參考文獻

  1. ^ ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. (原始内容存档于2023-03-13) (英语). 
  2. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始内容存档于2012-07-03) 
  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04) 
  4. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始内容 (PDF)存档于2013-01-23) 
  5. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157 

参见

  • 冪集:某集合的全部子集组成的集合。