亨斯托克-考茲維爾積分

數學中,亨斯托克-考茲維爾積分(英語:Henstock–Kurzweil integral,也稱為盧津積分佩龍積分,有時為了和廣義當茹瓦積分區別而稱為當茹瓦積分)是黎曼積分的一種推廣,有些情況下比勒貝格積分更加寬泛。

亨斯托克-考茲維爾積分最早是由二十世紀初法國數學家阿爾諾·當茹瓦英語Arnaud Denjoy引進的。當茹瓦在研究形似:

的函數的時候,希望能夠為它們定義積分。這種函數往往在某一點附近無法定義黎曼積分,但是用類似極限定義的 ε − δ 方法又能夠定義出類似黎曼積分的極限。

為了給這類函數定義積分,當茹瓦將黎曼不可積的點分為若干種情形,分別用超限歸納法來定義積分。這樣的定義繁複冗長。 尼古拉·盧津使用類似絕對連續的方式給出了另一種等價定義;奧斯卡·佩龍也給出了一種等價的定義,但這個等價關係並不顯然。

1957年,捷克數學家雅羅斯拉夫·考茲維爾英語Jaroslav Kurzweil給出了一種比較優雅的定義,和黎曼積分的定義比較相似。考茲維爾稱之為「刻度積分」(Gauge Integral)。而拉爾夫·亨斯托克英語Ralph Henstock則發展並完善了這種積分理論。基於這兩位數學家的貢獻,現今一般將這種積分稱為亨斯托克-考茲維爾積分。由於考茲維爾的定義和黎曼積分的定義同樣簡潔,有的數學教育者認為可以在教學中用亨斯托克-考茲維爾積分代替黎曼積分,但這個主張並未被廣泛採納。

定義

這裡只給出亨斯托克的定義:

區間分割與刻度

給定一個取樣分割P 和一個正函數 (所謂的「刻度」),如果

 

就稱這個分割是一個δ-精細分割。[1]

黎曼和

對一個在閉區間 有定義的實值函數  關於取樣分割P  黎曼和定義為以下和式:

 

和式中的每一項是子區間長度 與在 處的函數值 的乘積。直觀地說,就是以標記點 上的函數值 到X軸的距離為高,以分割的子區間為長的矩形的面積。[1]

亨斯托克-考茲維爾積分

 是函數 在閉區間 上的亨斯托克-考茲維爾積分,若且唯若對於任意的 ,都存在刻度函數 ,使得對於任意的取樣分割P  ,只要P是δ-精細分割,就有:

 [1]

從定義中可以看出,亨斯托克-考茲維爾積分比黎曼積分更加注重區間上的取樣。黎曼積分中,只將分割的小區間的最大長度作為精細度的標準。亨斯托克-考茲維爾積分的定義中引入「刻度」函數,並將取樣值和刻度函數聯繫起來,定義分割的精細程度。如果將刻度函數δ設定為常值函數,那麼亨斯托克-考茲維爾積分就退化為黎曼積分。[1]

δ-精細分割的存在性

如果對某些刻度函數δ,δ-精細分割不存在,那麼定義中「只要P是δ-精細分割,就有」一句就會變成一個前件全真的判斷,從而失去應有的意義。Cousin定理英語Cousin's theorem說明,對任意的刻度函數δ,必定存在δ-精細分割,杜絕了亨斯托克-考茲維爾積分定義邏輯上可能存在的瑕疵[1]

積分的唯一性

為了能夠良好地定義積分,亨斯托克-考茲維爾積分的定義中的S必須是唯一存在的,同一個函數在同一個區間上不能有兩個不同的積分值。可以證明,亨斯托克-考茲維爾積分如果存在就必定是唯一的。這說明亨斯托克-考茲維爾積分是良好定義的。[1]

參見

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Bartle, Robert G. A Modern Theory of Integration. Graduate Studies in Mathematics 32. American Mathematical Society. 2001. ISBN 978-0-8218-0845-0 (英語).