三次方程式

未知项次数最高为3的整式方程

三次方程式是未知項總次數最高為3的整式方程式一元三次方程式一般形式為

三次函數的圖像。該函數與x軸相交3次說明方程式有3個實數根。

其中是屬於一個的數字,通常這個域為

本條目只解釋一元三次方程式,而且簡稱之為三次方程式。

歷史

中國唐朝數學家王孝通在武德九年(626年)前後所著的《緝古算經》中建立了25個三次多項式方程式和提出三次方程式實根的數值解法。[1]

波斯數學家歐瑪爾·海亞姆(1048年-1123年)通過用圓錐截面與圓相交的方法構建了三次方程式的解法。他說明了怎樣用這種幾何方法利用三角法表得到數字式的答案。

中國南宋的數學家秦九韶在他1247年編寫的《數書九章》一書中提出了高次方程式的數值解法秦九韶算法,提出「商常為正,實常為負,從常為正,益常為負」的原則。

在十六世紀早期,義大利數學家費羅找到了能解一種三次方程式的方法,也就是形如 的方程式。事實上,如果我們允許 是複數,所有的三次方程式都能變成這種形式,但在那個時候人們不知道複數。

尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡爾丹諾拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡爾丹諾注意到塔爾塔利亞的方法有時需要他給複數開平方。他甚至在《數學大典》裡包括了這些複數的計算,但他並不真正理解它。拉斐爾·邦貝利(Rafael Bombelli)詳細地研究了這個問題,並因此被人們認為是複數的發現者。

判別式

 時,方程式有一個實根和兩個共軛複根;

 時,方程式有三個實根:當

 

時,方程式有一個三重實根;

 

時,方程式的三個實根中有兩個相等;

 時,方程式有三個不等的實根。

三次方程式解法

求根公式法

 
 
 
 

紅色字體部分為判別式 

 時,方程式有一個實根和兩個共軛複根;

 時,方程式有三個實根:

 時,方程式有一個三重實根;

 時,方程式的三個實根中有兩個相等;

 時,方程式有三個不等的實根。

 
 

三角函數解

 ,其中 

若令 ,則

 

 

 

卡爾達諾法

 為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程式只需找到一個根 ,然後把方程式 除以 ,就得到一個二次方程式,而我們已會解二次方程式。

在一個代數封閉域,所有三次方程式都有三個根。複數體就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。

解方程式步驟:

  • 把原來方程式除以首項係數 ,得到:
 ,其中   
  • 代換未知項 ,以消去二次項。當展開 ,會得到 這項,正好抵消掉出現於 的項 。故得:
 ,其中  是域中的數字。
  
  •  滿足 ,則 為解
這個假設的hint如下:
 。前一方程式化為 
展開: 
重組: 
分解: 
  •   。我們有  因為 。所以  是輔助方程式 的根,可代一般二次方程式公式得解。

接下來,    的立方根,適合  ,最後得出 

在域 裡,若  是立方根,其它的立方根就是  ,當然還有  ,其中 ,是1的一個複數立方根。

因為乘積 固定,所以可能的    。因此三次方程式的其它根是  

判別式

最先嘗試解的三次方程式是實係數(而且是整數)。因為實數體並非代數封閉,方程式的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在 裡,就是 的代數閉包。其中差異出現於  的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程式的判別式 

  •  ,方程式有一個實根和兩個共軛複根;
  •  ,方程式有三個實根:當 時,方程式有一個三重實根;當 時,方程式的三個實根中有兩個相等;
  •  ,方程式有三個不等的實根: 其中 (注意,由於此公式應對於 的形式,因此這裡的 實際上是前段的 ,應用時務必注意取負號即 )。

注意到實係數三次方程式有一實根存在,這是因為非常數多項式  極限無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因為多項式是連續函數,所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子

 

我們依照上述步驟進行:

  •  (全式除以 
  •  ,代換: ,再展開 
  •    。設     的根。
  
  
 
 

該方程式的另外兩個根:

 
 

第二個例子

這是一個歷史上的例子,因為它是邦別利考慮的方程式。

方程式是 

從函數 算出判別式的值 ,知道這方程式有三實根,所以比上例更容易找到一個根。

前兩步都不需要做,做第三步:   

  

   的根。這方程式的判別式已算出是負數,所以只有實根。很弔詭地,這方法必須用到複數求出全是實數的根。這是發明複數的一個理由:複數是解方程式必需工具,即使方程式或許只有實根。

我們解出  。取複數立方根不同於實數,有兩種方法:幾何方法,用到輻角和模(把輻角除以3取模的立方根);代數方法,分開複數的實部和虛部: 現設 

 等價於:
 (實部)
 (虛部)
 (模)

得到  ,也就是 ,而 是其共軛: 

歸結得 ,可以立時驗證出來。

其它根是  ,其中 

 是負,  共軛,故此  也是(要適當選取立方根,記得 );所以我們可確保 是實數,還有  

盛金公式法

 ,其中係數皆為實數。

判別式

重根判別式: 

總判別式: 

情況1: 

 

情況2: 

 ,得:

 

 

 

情況3: 

 ,得:

 

 

情況4: 

 ,得:

 

 

 

極值

駐點的公式

 

將其微分,可得 

  • 有序列表項

反曲點

 

 ,可得 

 

駐點的類型

由函數取極值的充分條件可知:
   極大值點
   極小值點
   反曲點

 可知:
  的駐點為極大值點;
  的駐點為極小值點;
  的駐點為反曲點。

參見

參考資料

  1. ^ 三上義夫 《中國算學之特色》 34頁 商務印書館。

外部連結