三次方程

未知项次数最高为3的整式方程

三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程一元三次方程一般形式为

三次函数的图像。该函数与x轴相交3次说明方程有3个实数根。

其中是属于一个的数字,通常这个域为

本条目只解释一元三次方程,而且简称之为三次方程式。

历史

中国唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。

在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如 的方程。事实上,如果我们允许 是复数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道复数。

尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程式的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程式解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是复数的发现者。

判别式

 时,方程有一个实根和两个共轭复根;

 时,方程有三个实根:当

 

时,方程有一个三重实根;

 

时,方程的三个实根中有两个相等;

 时,方程有三个不等的实根。

三次方程解法

求根公式法

 
 
 
 

红色字体部分为判别式 

 时,方程有一个实根和两个共轭复根;

 时,方程有三个实根:

 时,方程有一个三重实根;

 时,方程的三个实根中有两个相等;

 时,方程有三个不等的实根。

 
 

三角函数解

 ,其中 

若令 ,则

 

 

 

卡尔达诺法

 为域,可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根 ,然后把方程 除以 ,就得到一个二次方程,而我们已会解二次方程。

在一个代数封闭域,所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域,这是代数基本定理的结果。

解方程步骤:

  • 把原来方程除以首项系数 ,得到:
 ,其中   
  • 代换未知项 ,以消去二次项。当展开 ,会得到 这项,正好抵消掉出现于 的项 。故得:
 ,其中  是域中的数字。
  
  •  满足 ,则 为解
这个假设的hint如下:
 。前一方程化为 
展开: 
重组: 
分解: 
  •   。我们有  因为 。所以  是辅助方程 的根,可代一般二次方程公式得解。

接下来,    的立方根,适合  ,最后得出 

在域 里,若  是立方根,其它的立方根就是  ,当然还有  ,其中 ,是1的一个复数立方根。

因为乘积 固定,所以可能的    。因此三次方程的其它根是  

判别式

最先尝试解的三次方程是实系数(而且是整数)。因为实数域并非代数封闭,方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在 里,就是 的代数闭包。其中差异出现于  的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。

可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式 

  •  ,方程有一个实根和两个共轭复根;
  •  ,方程有三个实根:当 时,方程有一个三重实根;当 时,方程的三个实根中有两个相等;
  •  ,方程有三个不等的实根: 其中 (注意,由于此公式应对于 的形式,因此这里的 实际上是前段的 ,应用时务必注意取负号即 )。

注意到实系数三次方程有一实根存在,这是因为非常数多项式  极限无穷大,对奇次多项式这两个极限异号,又因为多项式是连续函数,所以从介值定理可知它在某点的值为0。

第一个例子

 

我们依照上述步骤进行:

  •  (全式除以 
  •  ,代换: ,再展开 
  •    。设     的根。
  
  
 
 

该方程的另外两个根:

 
 

第二个例子

这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。

方程是 

从函数 算出判别式的值 ,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做,做第三步:   

  

   的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。

我们解出  。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设 

 等价于:
 (实部)
 (虚部)
 (模)

得到  ,也就是 ,而 是其共轭: 

归结得 ,可以立时验证出来。

其它根是  ,其中 

 是负,  共轭,故此  也是(要适当选取立方根,记得 );所以我们可确保 是实数,还有  

盛金公式法

 ,其中系数皆为实数。

判别式

重根判别式: 

总判别式: 

情况1: 

 

情况2: 

 ,得:

 

 

 

情况3: 

 ,得:

 

 

情况4: 

 ,得:

 

 

 

极值

驻点的公式

 

将其微分,可得 

  • 有序列表项

拐点

 

 ,可得 

 

驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知:
   极大值点
   极小值点
   拐点

 可知:
  的驻点为极大值点;
  的驻点为极小值点;
  的驻点为拐点。

参见

参考资料

  1. ^ 三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。

外部链接