User:李正一/连续映射定理 (1)

在概率论中，连续映射定理指出，连续函数是具有保持极限的性质的，即使他们的参数是一列随机变量。 一个海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果xn → x 那么 g(xn) → g(x)。连续映射定理指出，如果我们把确定的数列{xn}替换为一列随机变量 {Xn}，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。

这个定理第一次由 Mann & Wald (1943)证明，因此有时又被称作 Mann–Wald定理。

声明

我们{X_n}, X 是 随机的因素的 定义为一个 公空间 S. 假设一个职能 g: S→S′ （ S' 另一个公空间）的一套 连贯性指 D_g 例如 Pr[X ∈ D_g] = 0. 那

1. $X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
2. $X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
3. $X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ g(X).$

证据

这一证据已通过的 （van der Vaart 1998，Theorem 2.3）

空间 S 和 S' 具备某些衡量标准。 为简明起见，我们将表示了两种衡量标准使用|x−y|注释的，尽管衡量尺度可能是任意的，而不一定是欧式的

趋同的分配

我们需要一个特别的声明 辑原理:大的程度上趋于一致，在分配 $X_{n}{\xrightarrow {d}}X$ 相当于

$\limsup _{n\to \infty }\operatorname {Pr} (X_{n}\in F)\leq \operatorname {Pr} (X\in F){\text{ for every closed set }}F.$

修好任意关闭的设 F⊂S'的。 表示由 g^-1的(F)预的形象 F 根据绘图 g：制定的所有要点的 x ∈ S 此 g(x)∈F了 考虑一系列{x_k} g(x_k) ∈ F 和 x_k → x的。 那么这个序列的在于 g^-1的(F)及其限制了点 x 属于 关闭 这个确定， g^-1的(F) (通过定义，《关闭的)。 重点 x 可能：

• 一项连续性的观点， g，在这种情况下， g(x_k) 为 g(x)，因此 g(x)∈F 因为 F 是要封闭的，因此在这种情况下 x 属于前形象的 F，或
• 一个不连续的观点， g，以便 x ∈ D_g的。

因此，下面关系的：

${\overline {g^{-1}(F)}}\ \subset \ g^{-1}(F)\cup D_{g}\ .$

考虑的活动{g(X_n)∈F}的规定。 可能这次活动可估计如

$\operatorname {Pr} {\big (}g(X_{n})\in F{\big )}=\operatorname {Pr} {\big (}X_{n}\in g^{-1}(F){\big )}\leq \operatorname {Pr} {\big (}X_{n}\in {\overline {g^{-1}(F)}}{\big )},$

和由辑原理的 limsup 的最后言论的是少于或等于Pr(X ∈ g^-1的(F)段）。 使用公式产生上段所述，这可以写作