量子數描述量子系統中動力學上各守恆數的值。它們通常按性質描述原子電子的各能量,但也會描述其他物理量(如角動量自旋等)。由於任何量子系統都能有一個或以上的量子數,列出所有可能的量子數是件沒有意義的工作,學習量子數與軌域也是。

有多少個量子數?

「要多少個量子數才能描述任何已知系統?」這道問題並沒有一致的答案,儘管要解決每一個系統都必須要對系統進行全面分析。任何系統的動力學都由一量子哈密頓算符H,所描述。系統中有一量子數對應能量,即哈密頓算符的特徵值。對每一個算符O而言,還有一個量子數可與哈密頓算符交換(即滿足OH = HO這條關係式)。這些是一個系統中所能有的所有量子數。注意定義量子數的算符O應互相獨立。很多時候,能有好幾種選擇一組互相獨立算符的方法。故此,在不同的條件下,可使用不同的量子數組來描述同一個系統。

原子內的單個電子

最被廣為研究的量子數組是用於一原子的單個電子:不只是因為它在化學中有用(它是週期表化合價及其他一系列特性的基本概念),還因為它是一個可解的真實問題,故廣為教科書所採用。

在非相對論性量子力學中,這個系統的哈密頓算符由電子的動能勢能(由電子及原子核間的庫侖力所產生)。動能可被分成,有環繞原子核的電子角動量J的一份,及餘下的一份。由於勢能是球狀對稱的關係,其完整的哈密頓算符能與J2交換。而J2本身能與角動量的任一分量(按慣例使用Jz)交換。由於這是本題中唯一的一組可交換算符,所以會有三個量子數。

依慣例,它們被稱為:

  • 主量子數 ,即電子軌域 )代表除掉J2以後H的特徵值。這個數因此會視電子與原子核間的距離(即半徑座標r)而定。平均距離會隨着n增大,因此不同量子數的量子態會被說成屬於不同的電子層。
  • 角量子數 ,又稱方位角量子數軌道量子數)通過關係式 來代表軌道角動量。在化學中,這個量子數是非常重要的,因為它表明了一軌道的形狀,並對化學鍵鍵角有重大影響。有些時候,不同角量子數的軌域有不同代號, 的軌域叫s軌域, 的叫p軌域, 的叫d軌域,而 的則叫f軌域。
  • 磁量子數 )代表特徵值 [1]。這是軌道角動量沿某指定軸的投影。

光譜學中所得的結果指出一個軌道最多可容納兩個電子。然而兩個電子絕不能擁有完全相同的量子態(泡利不相容原理),故也絕不能擁有同一組量子數。所以為此特別提出一個假設來解決這問題,就是設存在一個有兩個可能值的第四個量子數。這假設以後能被相對論性量子力學所解釋。

  • 自旋量子數 )代表電子的固有角動量。這是自旋 沿某指定軸的射影。

作為摘要,一電子的量子態視下列各量子數而定:

名稱 符號 軌道意義 取值範圍 取值例子
主量子數   殼層    
角量子數(角動量   次殼層    :
 
磁量子數(角動量之射影)   能移    :
 
自旋量子數   自旋   只能是 

例:用於描述 )原子最外層電子(即價電子,位於原子軌道2p)的各量子數值為:    

簡而言之,以上的物理量需要滿足  

注意分子軌道需要使用完全不同的量子數組,因為其哈密頓算符及對稱跟上述相當不同。

適用於自旋-軌道交互作用的量子數

當考慮到自旋-軌道作用時,l、m及s就再不能與哈密頓算符交換,因而它們的值會隨時間改變。故應該使用另一組量子數。這組包括了

  • 總角動量量子數(j=1/2,3/2 … n-1/2)通過關係式 代表着總角動量
  • 總角動量沿某指定軸的投影(mj=-j,-j+1 … j-1,j),此數與m類似,且滿足關係式 
  • 宇稱。它是經反射所得的特徵值,當態之l為偶數時其值為正(即+1),奇數時其值為負(即-1)。前者亦被稱為偶宇稱,後者則為奇宇稱

例:考慮以下八個態,定義它們的量子數:

  1. l = 1,ml = 1,ms = +1/2
  2. l = 1,ml = 1,ms = -1/2
  3. l = 1,ml = 0,ms = +1/2
  4. l = 1,ml = 0,ms = -1/2
  5. l = 1,ml = -1,ms = +1/2
  6. l = 1,ml = -1,ms = -1/2
  7. l = 0,ml = 0,ms = +1/2
  8. l = 0,ml = 0,ms = -1/2

系統的量子態能被這八個態的線性組合所描述。但由於自旋-軌道作用的關係,如欲使用八個由哈密頓算符特徵向量(即每一個代表一個態且不會因時間而跟其他態混合)所組成的態來描述同一個系統,應考慮以下這八個態:

  1. j = 3/2, mj = 3/2,奇宇稱 (從上態1得)
  2. j = 3/2, mj = 1/2,奇宇稱 (從上態2及3得)
  3. j = 3/2, mj = -1/2,奇宇稱 (從上態4及5得)
  4. j = 3/2, mj = -3/2,奇宇稱 (從上態6得)
  5. j = 1/2, mj = 1/2,奇宇稱 (從上態2及3得)
  6. j = 1/2, mj = -1/2,奇宇稱 (從上態4及5得)
  7. j = 1/2, mj = 1/2,偶宇稱 (從上態7得)
  8. j = 1/2, mj = -1/2,偶宇稱 (從上態8得)

基本粒子

基本粒子包含不少量子數,一般來說它們都是粒子本身的。但需要明白的是,基本粒子是粒子物理學標準模型的量子態,所以這些粒子量子數間的關係跟模型的哈密頓算符一樣,就像波耳原子量子數及其哈密頓算符的關係那樣。亦即是說,每一個量子數代表問題的一個對稱性。這在場論中有着更大的用處,被用於識別時空對稱。

一般跟時空對稱有關係的量子數有自旋(跟旋轉對稱有關)、宇稱C-宇稱T-宇稱(跟時空上的龐加萊對稱有關係)。一般的內對稱有輕子數重子數電荷數。條目有這些量子數的更詳細列表。

值得一提的是較次要但常被混淆的一點。大部分守恒量子數都是可相加的。故此,在一基本粒子反應中,反應前後的量子數總和應相等。然而,某些量子數(一般被稱為宇稱)是可相乘的;即它們的積是守恒的。所以可相乘的量子數都屬於一種對稱(像守恒那樣),而在這種對稱中使用兩次對稱變換式跟沒用過是一樣的。它們都屬於一個叫Z2的抽象

参考連結

  1. ^ Arthur Beiser, Kok Wai Cheah. Concepts of modern physics. 麥格羅-希爾集團. 2015: 第229頁. ISBN 9789814595261. 

基本原理

原子物理

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