莫尔斯–帕莱引理

数学中,莫尔斯–帕莱引理(Morse–Palais lemma)是变分法希尔伯特空间理论中的一个结果。粗略地讲,它指出临界点附近足够光滑函数在适当改变坐标后可表为二次型。 莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家马斯顿·莫尔斯利用格拉姆-施密特正交化在有限维情形证明的。这一结论在莫尔斯理论中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于理查德·帕莱斯蒂芬·斯梅尔

陈述

 为实希尔伯特空间,并令UH中原点的开邻域。令  -次连续可微函数,其中 ,即 。设 ,0是f的非退化临界点,即二阶导 确定了H与其连续对偶空间 同构  

则在U中存在0的子邻域V微分同胚映射  ,逆也是 )、可逆对称算子 使得  

推论

  ,使得0是非退化临界点。则存在逆为  微分同胚映射 、正交分解   使得若有   

另见

参考文献

  • Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc. 1972.