牛奶凍曲線

牛奶凍曲线(blancmange curve)又称为高木曲线,因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱为 Takagi-Landsberg 曲线,一種更一般化的曲線,以高木貞治Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶凍曲線也是 de Rham 曲线的特例。

牛奶凍函數的圖形

定義

定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為

 

其中   是三角波函數,定義為  

而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的:

 

其中 是一個變數使 


性質

收斂與連續性

  )為參數無限和 對所有 絕對收斂:因為對所有  ,從而

 

 為參數的 也是連續的。因為可以如下證明 均勻收斂 

  對所有  

其值在 夠大時可以任意的小。再根據均勻極限定理英语Uniform limit theorem 連續。

次可加性

 具有次可加性

拋物線

  的圖形是拋物線,且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。

可微性

對所有  在任意不是二进分数 是可微的,且其結果是

 

其中  二進位表達式的序列,也就是滿足 的序列。