濾波問題

随机过程理論中的濾波問題(Filtering problem)是指針對信号处理及相關領域中,許多狀態估測問題的數學模型。大致概念是從不完整的、可能包括雜訊的觀測值中,建立有關系統真實值的「最佳估測」。最佳非線性濾波問題(甚至也包括非平稳过程問題)由Ruslan L. Stratonovich英语Ruslan L. Stratonovich(1959年[1]、1960年[2])找到解答,在Harold J. Kushner英语Harold J. Kushner的研究[3]Moshe Zakai英语Moshe Zakai的研究中也有提到,Zakai建立了濾波器在條件機率未歸一情況下的簡化動態模型[4],稱為Zakai方程英语Zakai equation。不過一般情形下的解是無限維的[5]

目前已針對一些近似以及一些特定條件有深入的研究。例如在高斯隨機變數的假設下,最佳解是線性濾波器,也稱為维纳滤波卡尔曼滤波。更一般的情形下,其解為無限維度,為了在有限記憶體的電腦中計算,需要進行有限維度的近似,有限維的近似型非線性濾波器英语nonlinear filter比較會以启发為基礎,例如擴展型卡爾曼濾波器英语Extended Kalman Filter或是假定密度濾波器(Assumed Density Filters)[6],也有更方法論導向的作法,例如Projection Filters[7],其中有些子系列恰好和假定密度濾波器相同[8]

一般來說,若可以適用分離原理,這些濾波器也可以成為最优控制問題解的一部份。例如在LQG控制最佳控制問題中,其估測部份的解就是卡爾曼濾波

數學表示

考慮概率空間 (Ω, Σ, P),並且假設在n維度欧几里得空间 Rn的系統,其在時間t的(隨機)狀態Yt随机变量 Yt : Ω → Rn,可以由以下形式伊藤清隨機微分方程的解來求得

 

其中B是標準p布朗运动b : [0, +∞) × Rn → Rn為漂移場(drift field),且σ : [0, +∞) × Rn → Rn×p是擴散場(diffusion field)。假設Rm內在每一個時間的觀測Ht(其中mn可能不同)由下式決定

 

配合隨機微分方程的伊藤表示法,令

 

因此可以得到有關觀測Zt的隨機積分表示式:

 

其中W表示標準r維的布朗运动,和B和初始條件Y0無關,c : [0, +∞) × Rn → Rn,且 γ : [0, +∞) × Rn → Rn×r

可以在所有tx,以及特定常數C的情形下,使下式成立:

 

濾波問題如下:給定在0 ≤ s ≤ t時間內的觀測量Zs for 0 ≤ s ≤ t,依上述觀測值,針對系統真實狀態Yt的最佳估測Ŷt是什麼?

因為「依上述觀測量為基礎」,表示Ŷt是根據Zs觀測量中Σ-代数下的可測函數。令K = K(Zt) 是所有數值為Rn,平方可積分,而且Gt可量測隨機函數Y的集合:

 

因為要求是「最佳估測」,表示Ŷt會讓YtK集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值:

 

基本結論:正交投影

候選估測值的空間K(Zt)是希尔伯特空间,根據希尔伯特空间的理論,可以推得最小值問題(M)的解Ŷt可以表示為下式

 

其中PK(Z,t)表示將L2(Ω, Σ, PRn)映射到线性子空间 K(Zt) = L2(Ω, GtPRn)的正交投影。而且,有關其条件期望,可知道若F是Σ中的次σ代數,則正交投影

 

也就是條件期望運算子E[·|F],也就是說

 

因此

 

這個基本結果是濾波理論中,廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。

相關條目

參考資料

  1. ^ Stratonovich, R. L. (1959). Optimum nonlinear systems which bring about a separation of a signal with constant parameters from noise. Radiofizika, 2:6, pp. 892-901.
  2. ^ Stratonovich, R.L. (1960). Application of the Markov processes theory to optimal filtering. Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, pp.1-19.
  3. ^ Kushner, Harold. (1967). Nonlinear filtering: The exact dynamical equations satisfied by the conditional mode. Automatic Control, IEEE Transactions on Volume 12, Issue 3, Jun 1967 Page(s): 262 - 267
  4. ^ Zakai, Moshe (1969), On the optimal filtering of diffusion processes. Zeit. Wahrsch. 11 230–243. MR242552, doi:10.1007/BF00536382
  5. ^ Mireille Chaleyat-Maurel and Dominique Michel. Des resultats de non existence de filtre de dimension finie. Stochastics, 13(1+2):83-102, 1984.
  6. ^ Maybeck, Peter S., Stochastic models, estimation, and control, Volume 141, Series Mathematics in Science and Engineering, 1979, Academic Press
  7. ^ Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François LeGland, A Differential Geometric approach to nonlinear filtering: the Projection Filter, I.E.E.E. Transactions on Automatic Control Vol. 43, 2 (1998), pp 247--252.
  8. ^ Damiano Brigo, Bernard Hanzon and François Le Gland], Approximate Nonlinear Filtering by Projection on Exponential Manifolds of Densities, Bernoulli, Vol. 5, N. 3 (1999), pp. 495--534