无穷小应变理论

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无穷小应变理论(infinitesimal strain theory)也稱為无限小应变理论,是连续介质力学中描述固體形變的數學分析法,適用在其形變量遠小於物體尺寸(無窮小量)的情形,因此若是均質材料,可以假設材料每一點的結構性質(密度剛度)都相等,不會隨變形而不同。

在此假設下,連續介质力學的方程可以簡化。此作法也稱為是小形變理論小位移理論小位移梯度理論。无穷小应变理论和有限应变理论的假設恰好相反,後者假設形變量沒有遠小於物體尺寸。

无穷小应变理论常用在土木工程機械工程中,其中會進行結構的應力分析英语stress analysis,而材料是用強度較高的混凝土製成,而結構設計的目標也是在一般結構荷重下,希望其形變量可以降到最小。不過若分析的結構物是較細較薄,較容易變形的元件(例如桿、平板及薄殼),用无限小应变理论來分析就不可靠了[1]

無穷小應變張量

連續體的無限小變形中(位移梯度張量遠小於1,也就是 ),可以用有限應變理論中的任何一個有限應變張量(例如拉格朗日有限應變張量 ,或是尤拉有限應變張量 )進行線性化。在線性化中,可以省略有限應變張量中的二次項或是非線性項,因此可得

   以及   

線性化意味著連續體中特定點的物質坐標(material coordinate)和空間坐標(spatial coordinate)差異很小,拉格朗日描述和尤拉描述近似相等。因此,物質位移梯度張量和空間位移梯度張量的分量也相近相等。可得    其中  是無穷小應變張量(也稱為柯西應變張量、線性應變張量、小應變張量)的分量。

  或者使用不同的表示方式:  

進一步來說,因為形變梯度可以表示成  其中 是二階單位張量,可得  

另外,根據拉格朗日有限應變張量及尤拉有限應變張量的通用表示法,可得  

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參考資料

  1. ^ Boresi, Arthur P. (Arthur Peter), 1924-. Advanced mechanics of materials. Schmidt, Richard J. (Richard Joseph), 1954- 6th. New York: John Wiley & Sons. 2003: 62. ISBN 1601199228. OCLC 430194205. 

外部連結