懸鏈曲面

懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一个曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得(見右側動畫),故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。[3] 懸鏈曲面可被以下參數式所定義:

懸鏈曲面
A catenoid obtained from the rotation of a catenary
懸鏈線繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面

其中為非零實數。 在圓柱座標系則有:

其中为实数。

理想状态下,把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开,就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界(铁环)下表面积最小的旋转曲面,根据这个原理,可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。

螺旋面變換

 
此動畫展示了螺旋面如何變型成懸鏈曲面

螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面,我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說,我們可以用一個連續等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份,且在變型的每一瞬間,曲面皆為极小曲面。此變換可由下列式子給出:

 
 
 
注意 ,且變換參數 滿足 

其中  對應到右旋螺旋面,  對應到懸鏈曲面,  對應到左旋螺旋面。

等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。

參見

  1. ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
  2. ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Catenoid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. (原始内容存档于2013-12-28) (英语).