弱*拓撲賦範向量空間對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性,在於它使得單位球緊集巴拿赫-阿勞格魯定理);相反地在線性算子範數誘發的拓撲中,單位球未必緊緻。(結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。)

定義

在域    )上的賦範空間 中,每一個元素 ,都可以定義對偶空間 上的一個線性算子 。弱*拓撲是在 上最弱的拓撲,使得所有這樣的 都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義,在 上給出它的鄰域基:對任何 ,集合

 

其中  ,是 的弱*開的鄰域基。

收斂

弱*拓撲的收斂條件很簡單:序列 在弱*拓撲中收斂,如果對任何 都有 ,即 逐點收斂 。弱*收斂記作 

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果 ,其中  的範數,則 必然逐點收斂於 ,因而有 ;但是, 不一定有 ,甚至可能 

半範數

對偶空間 加上弱*拓撲是一個局部凸空間,因此可以由給予 一個半範數的系統定義弱*拓撲。對 

 ,

構成這樣一個半範數的系統。

參考

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968