基本单位 (数论)

代数数论基本单位,是数域中代数整数环的生成元(即模单位根),可理解为单位群扭子群是个无限循环群狄利克雷单位定理表明:rank=1的有实二次域,复三次域,完全四元数

随时代发展,当对rank ≥1*基本单位也被有些作者叫基本单位系,rank=1时的才基本单位,这只是基本单位系的一个系元.[1]

实二次域

实二次域 d无平方因子),如果Δ表示代数数域K的判别式,则基本单位是:

 

其中 (ab) 是下面佩尔方程最小正整数解[2]

 

上面的佩尔方程可通过 连分数展开获得。这个不定方程现在得出一些结论:

  •  连分数展开是奇周期的。
  • 概率表明Δ如果能整除一个3mod4的同余的素数,那麽K有为-1的单位概率较大。如d=34就为反例,1990年,Peter Stevenhagen 提出个概率模型,专找反例。特别的,当 Δ < X ,对如果能整除一个3mod4的同余的素数的D(X),其共轭D(X)有为-1的单位概率为[3]
 

也就是这种特例下有42%反例,至2012年3月,最近对这个猜想的结果[4] 为可有33%~59%的反例。

三次域

如果“K”是只有一个实嵌入复三次域,且在嵌入中基本单位ε赋值满足|ε| > 1 ,判别式赋值|Δ| ≥ 33,[5] 则:

 

例: 基本单位的  的三次方≈ 56.9, ,判别式= −108 则:

 

脚注

  1. ^ Alaca & Williams 2004,§13.4
  2. ^ Neukirch 1999,Exercise I.7.1
  3. ^ Stevenhagen 1993,Conjecture 1.4
  4. ^ Fouvry & Klüners 2010
  5. ^ Alaca & Williams 2004,Theorem 13.6.1

参考文献