卡爾曼分解

卡爾曼分解(Kalman decomposition)是控制理论中的數學工具,可以將线性时不变(LTI)控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構,更容易可以對系統可到達英语Reachability problem及可觀測子空間的特性下結論。

符號

推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下:

 
 

其中

 為狀態向量
 為輸出向量
 為輸入(或控制)向量
 為狀態矩陣
 為輸入矩陣
 為輸出矩陣
 為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下:

 
 

各向量及矩陣的意思如上。因此,系統可以表示為包括四個矩陣的數組 。 令系統的階數為 

卡爾曼分解定義為將矩陣數組 轉換為矩陣數組 ,且後者有以下的特性:

 
 
 
 

  的可逆矩陣,可以定義為

 

其中

  •  的各列(column)會生成可到達,不可觀察的狀態子空間。
  • 選擇  ,使得 的各列(column)是可到達子空間的基底。
  • 選擇  ,使得 的各列(column)是不可觀察子空間的基底。
  • 選擇  ,使得 可逆。

依上述的建構方式,矩陣 可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如,若系統有時有可觀察性及可控制性,則 ,其他的矩陣都是零維。

標準型

利用可控制性及可觀察性的結果,可以證明轉換後的系統 有以下形式的矩陣:

 
 
 
 

因此可得以下結論

  • 子系統 具有可到達性及可觀察性。
  • 子系統 有可到達性。
  • 子系統 有可觀察性。

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