正式定義
動機
如果取 為" 與 差距的上限";類似地,取 為" 與 差距的上限",那根據直觀,可以將函數極限定義為:
- 若對所有的 ,存在 ,使得對所有的 ,只要 就有
其中 是要確保 越來越小時, 也會越來越小; 是為了凸顯 是逼近而非等於 ,但對應的 是可以等於 的。
但對於实函数 逼近 時,考慮到 的部分;在 下是沒有這樣的 使得 且 的,但數值上 的確在 時很靠近 ,也就是 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。
上面的例子表明以 的變化去限制 的變化通常是很困難的,但如果反過來從 出發,去找怎樣的 會讓 與 的差距小於 ,也就是從"若對所有的 存在 "出發的話,顯然上面 的例子只要取 即可;而且在這個定義被滿足的情況下,若進一步取 和 的最小值為 與 差距的上限,還是會有 ,這樣就可以用 控制 的變化,而滿足" 趨近於 時 趨近於 "的直觀想法。
但實際上無法確保對所有 ,都有 使得 ,所以定義函數極限之前必須要求 為 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 使得 在 都有定義,也就是存在 的去心鄰域使 都有定義,這樣的話 會自動成為 的極限點。
自變量趨於有限值時函數的極限
為实函数, 為 的極限點且 ,若"對所有的 ,存在 ,使得對所有的 只要 就有 ",或以正式的邏輯符號表述為
則以 表示,稱 為實函數 於 的極限。
自變量趨於無窮大時函數的極限
由於"無窮大"不能直接定義成定義域 的極限點,可以退而求其次假設"對所有的 存在 使得 "。也就是直觀上可以用定義域 裡的點去逼近"無窮大"。那在這種條件下, ,且若"對所有 ,存在 ,使得對所有的 只要 時,有 ",或以正式的邏輯符號表述為
則稱 為實函數 於正無窮大( )的極限,記作
類似的,若假設"對所有的 存在 使得 ",那在這種條件下, ,且若"對所有 ,存在 ,使得對所有的 只要 時,有 ",或以正式的邏輯符號表述為
則稱 為實函數 於負無窮大( )的極限,記作
制限極限
常用公式
參考