邏輯上,元定理是一個以元語言的對於形式系統的陳述。和在一個形式系統內證明的定理不同,元定理是在元理論中證明的,且可能涉及元理論中存在、但在對象理論中不存在的概念。

一個形式系統是由元語言和演繹系統(公理及推理規則)所決定的,這形式系統可用於證明系統中以形式語言表達的特定陳述;然而,元定理要以元定理系統以外的事物進行證明,而常見的元定理包括了集合論(尤其在模型論中)及原始歸納算術英语Primitive recursive arithmetic(尤其在證明論中)等等;此外,比起顯示特定的陳述可證明,元定理更常顯示說一大類的陳述是可證明的,或特定陳述是不可證明的。

例子

以下是元定理的一些例子:

  • 一階邏輯演繹定理說一個有著 這形式的句子在公理系統 中是可證明的,當且僅當句子 是可從包含 及所有的 的公理的公理系統中證明的。
  • 馮·諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論的類存在性定理(class existence theorem)說對於任意量詞僅及於集合的公式,總存在一個包含集合滿足這公式。
  • 皮亞諾公理之類的系統的一致性證明

參見

參考資料

  • Geoffrey Hunter (1969), Metalogic.
  • Alasdair Urquhart (2002), "Metatheory", A companion to philosophical logic, Dale Jacquette (ed.), p. 307

外部連結