丹德林球

几何学中,丹德林球是指一個或两個球體,它們與圓錐相切,同時也與另一個與此圓錐相交的平面相切。圓錐與平面的截㡾則形成圆锥曲线,而任一球體與平面相接的點則是圓錐曲線的焦點。因此丹德林球有时也稱為焦球

丹迪林雙球與切過㘣錐的淡黃色平面相切。

丹德林球是在 1822 年發現的。[1] 它是為紀念法国數學家當德蘭·皮埃爾·丹德林(Germinal Pierre Dandelin)而名, 但朗伯·阿道夫·雅克·凯特勒 也有部分貢獻。[2]

丹德林球的用途,通常是用來為已阿波罗尼奥斯所知的兩個定理提供优雅的现代证明。第一个定理是,所有與两个固定点(焦点)的距离之和是常数的點,其轨迹是闭合圓錐曲線(即椭圆)。第二个定理是,对于任圓錐曲線,到定点(焦点)的距离与到定线(準線)的距离成正比,比例常数称为偏心率[3]

圓錐曲線的每个焦点都會有一個丹德林球。椭圆有两个丹德林球,它們會相切於相同的錐體,而双曲线則有两个丹德林球,卻是接触相反的錐體。抛物线則只有一个丹德林球。

截面曲線到焦点的距离之和為定值的證明

解釋如下,設 S 為此圓錐的頂點,平面 e 與此圓錐交於曲線 C(藍色區域)。以下則證明 C 是橢圓。

放置兩個棕色的丹德林球G1G2,皆與平面和圓錐相交,上面的為G1,下面的為G2。而兩個球體與錐體相切的點形成圓形(白色的部分),分別記為  

G1 與此平面的切點記為 F1 ;類似地,用於G2F2P 為曲線 C 上一點。

需要證明:當 P 沿著截面曲線 C 移動時,  仍是定值(橢圓的定義之一)。

  • P 與圓錐頂點 S 作一直線,與 G1G2 分別交於 P1P2
  • P 移動時,P1P2 則沿著兩個圓移動,且其距離   是定值。
  • PF1 的距離會等同於 PP1 的距離,因為線段 PF1PP1相切G1
  • 基於對稱性,PF2 的距離,等於 PP2 的距離,因為線段 PF2PP2相切G2
  • 於是,我們計算出其距離和   是定值。

這是用以證明阿波罗尼奥斯定理的另一個證明。

如果我們定義橢圓為與兩交點的距離和為定義的 P 的集合,則上述論述證明了此曲線確實是橢圖。此面,平面與圓錐截痕會以 F1F2 的中垂線對稱這論述,看起來像是違反直覺,但此方法則讓其顯而易見。的則是因為焦點可互換。

 
Cylinder case

同樣是平面和圓錐的截面,上述論述也可改編後適用於雙曲線拋物線。另一個改編則是將橢圓理解為平面於垂直圆柱体的截面。

焦點-準線性質的證明

丹德林球同樣也可用來發現圓錐截面的準線。每個丹德林球與㘣錐相切的點會形成圓形,而由這些圓形可定義出它的所在的平面且平行。 而它們與原平面的截痕則會是平行線,此即為準線。然而,拋物線則會有一個丹德林球,因此只有一個準線。

使用丹德林球,可以證明此截痕:「與焦點的距離和準線的距離成比例」。[4] 古希臘數學家,如阿波羅尼奧斯 ,認知到此性質,而丹德林球則給出了證明。[3]

但丹德林或Quetelet 都沒使用丹德林球來證明此屬性。第一個如此做的人可能是 1829 年的 Pierce Morton[5],又或者可能是 Hugh Hamilton (bishop) 在 1758 年時記下的「一個與圓錐相切於球,可用來定義了一個新平面,與原平面的截痕即為準線」。[1][6][7][8]而焦點-準線性質也可提供一個簡單的作法,可以用來證明克卜勒定律[9]

外部鏈接

  1. ^ 1.0 1.1 Dandelin, G. Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique [Memoir on some remarkable properties of the parabolic focale [i.e., oblique strophoid]. Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles. 1822, 2: 171–200 [2021-10-28]. (原始内容存档于2021-11-13) (法语). 
  2. ^ Godeaux, L. Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874). Ciel et Terre. 1928, 44: 60–64 [2021-10-28]. (原始内容存档于2021-10-28) (法语). 
  3. ^ 3.0 3.1 Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page 119 (focus-directrix property)页面存档备份,存于互联网档案馆), page 542 (sum of distances to foci property)页面存档备份,存于互联网档案馆) (Clarendon Press, 1921).
  4. ^ Brannan, A. et al. Geometry, page 19页面存档备份,存于互联网档案馆) (Cambridge University Press, 1999).
  5. ^ Numericana's Biographies: Morton, Pierce. [2021-10-29]. (原始内容存档于2022-01-21). 
  6. ^ Morton, Pierce. Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books, page 228页面存档备份,存于互联网档案馆) (Baldwin and Cradock, 1830).
  7. ^ Morton, Pierce. On the focus of a conic section. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 1830, 3: 185–190 [2021-10-29]. (原始内容存档于2021-11-03). 
  8. ^ Hamilton, Hugh. De Sectionibus Conicis. Tractatus Geometricus. In quo, ex Natura ipsius Coni, Sectionum Affectiones facillime deducuntur. Methodo nova. [On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method.]. London, England: William Johnston. 1758: 122–125 (拉丁语).  Liber (book) II, Propositio (proposition) XXXVII (37).
  9. ^ Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", European Journal of Physics, Vol. 14, page 145页面存档备份,存于互联网档案馆) (1993).